【題目】如圖,拋物線y= x2﹣2x﹣6 與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為頂點(diǎn),點(diǎn)E在拋物線上,且橫坐標(biāo)為4 ,AE與y軸交F.

(1)求拋物線的頂點(diǎn)D和F的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)M,N是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上兩點(diǎn),且M(2 ,a),N(2 ,a+ ),是否存在a使F,C,M,N四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小,若存在,求出這個(gè)周長(zhǎng)最小值,并求出a的值;
(3)連接BC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P,點(diǎn)Q是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),自點(diǎn)D以2 個(gè)單位每秒的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),連接PQ,將△DPQ沿PQ翻折,點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′,設(shè)Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0≤t≤ )秒,求使得△D′PQ與△PQB重疊部分的面積為△DPQ面積的 時(shí)對(duì)應(yīng)的t值.

【答案】
(1)

解:∵y= x2﹣2x﹣6 = (x﹣2 2﹣8 ,

∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)(2 ,﹣8 ),

由題意E(4 ,﹣8 ),A(﹣2 ,0),B(6 ,0),

設(shè)直線AE解析式為y=kx+b,則有 ,解得

∴直線AE解析式為y=﹣x﹣2 ,

∴點(diǎn)F坐標(biāo)(0,﹣2


(2)

解:如圖1中,作點(diǎn)F關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′,連接FF′交對(duì)稱(chēng)軸于G,在CF上取一點(diǎn)C′,使得CC′= ,連接C′F′與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)N,此時(shí)四邊形CMNF周長(zhǎng)最。

∵四邊形CMNF的周長(zhǎng)=CF+NM+CM+FN=5 +CM+NF,CM+NF=C′N(xiāo)+NF=C′N(xiāo)+NF′=C′F′(兩點(diǎn)之間線段最短),

∴此時(shí)四邊形CMNF的周長(zhǎng)最小.

∵C′F=3

∴GN= C′F= ,

∴﹣(a+ )=2 + ,

∴a=﹣ ,

∵C′F′= =5 ,

∴四邊形CMNF的周長(zhǎng)最小值=5 +5 =10


(3)

解:如圖2中,作PF⊥BD于F,QH⊥對(duì)稱(chēng)軸于H.

由題意可知BD= =4 ,DQ=2 t,

∵SPQG= SDPQ= SPDQ,

∴PG= PD′= PD=2 = BF,

情形①PG∥FB時(shí),∵PF=PD,

∴BG=GD,

∴PG= BF=2 ,

在Rt△QHD中,sin∠HDQ= ,DQ=2 t,

∴HQ=2 t,HD=4 t,

∵∠QPD′=∠QPD=45°,

∴PH=HQ=2 t,

∴PH+HD=PD,

∴6 t=4

∴t=

情形②如圖3中,PG′=PG=2 ,作PM⊥BD于M,QK⊥PD于K,QJ⊥PD′于J.

由sin∠PDG=sin∠GPM= =

∴MG′=MG= ,

∴G′D=BD﹣GG′= ,

= =

∵∠QPD=∠QPG′,QK⊥PD,QJ⊥PG′,

∴QK=QJ,

= =2,

∴QD= × =

∴t= = ,

綜上所述t= 秒時(shí),△D′PQ與△PQB重疊部分的面積為△DPQ面積的


【解析】(1)利用配方法或公式法求頂點(diǎn)坐標(biāo),求出最小AE即可求出點(diǎn)F坐標(biāo).(2)如圖1中,作點(diǎn)F關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′,連接FF′交對(duì)稱(chēng)軸于G,在CF上取一點(diǎn)C′,使得CC′= ,連接C′F′與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)N,此時(shí)四邊形CMNF周長(zhǎng)最小.(3)分兩種情形①PG∥FB時(shí);②如圖3中,PG′=PG=2 ,作PM⊥BD于M,QK⊥PD于K,QJ⊥PD′于J.分別求解即可.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象,掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)即可以解答此題.

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(2)如圖2,在(1)的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí),請(qǐng)你判斷此時(shí)(1)中的結(jié)論是否仍然成立,并證明你的判斷;

(3)如圖3,在(1)的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí),若AD=1,AC= ,求此時(shí)線段CF的長(zhǎng)(直接寫(xiě)出結(jié)果).

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