【題目】如圖,拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A,B兩點,交x軸與D,C兩點,連接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).

)求拋物線的解析式和tanBAC的值;

)在()條件下,P為y軸右側拋物線上一動點,連接PA,過點P作PQPA交y軸于點Q,問:是否存在點P使得以A,P,Q為頂點的三角形與ACB相似?若存在,請求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】)y=x2x+3,)滿足條件的點P的坐標為(11,36)、()、(,).

【解析】

試題分析:)只需把A、C兩點的坐標代入y=x2+mx+n,就可得到拋物線的解析式,然后求出直線AB與拋物線的交點B的坐標,過點B作BHx軸于H,如圖1.易得BCH=ACO=45°,BC=,AC=3,從而得到ACB=90°,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出tanBAC的值;

)過點P作PGy軸于G,則PGA=90°.設點P的橫坐標為x,由P在y軸右側可得x>0,則PG=x,易得APQ=ACB=90°.若點G在點A的下方,①當PAQ=CAB時,PAQ∽△CAB.此時可證得PGA∽△BCA,根據(jù)相似三角形的性質可得AG=3PG=3x.則有P(x,3﹣3x),然后把P(x,3﹣3x)代入拋物線的解析式,就可求出點P的坐標②當PAQ=CBA時,PAQ∽△CBA,同理,可求出點P的坐標;若點G在點A的上方,同理,可求出點P的坐標;

解:()把A(0,3),C(3,0)代入y=x2+mx+n,得

解得:

拋物線的解析式為y=x2x+3.

聯(lián)立,

解得:,

點B的坐標為(4,1).

過點B作BHx軸于H,如圖1.C(3,0),B(4,1),

BH=1,OC=3,OH=4,CH=4﹣3=1,BH=CH=1

∵∠BHC=90°∴∠BCH=45°,BC=

同理:ACO=45°,AC=3,

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°,

tanBAC===;

)(1)存在點P,使得以A,P,Q為頂點的三角形與ACB相似.

過點P作PGy軸于G,則PGA=90°

設點P的橫坐標為x,由P在y軸右側可得x>0,則PG=x.

PQPAACB=90°,∴∠APQ=ACB=90°

若點G在點A的下方,

①如圖2①,當PAQ=CAB時,則PAQ∽△CAB

∵∠PGA=ACB=90°,PAQ=CAB∴△PGA∽△BCA,

==

AG=3PG=3x

則P(x,3﹣3x).把P(x,3﹣3x)代入y=x2x+3,得:x2x+3=3﹣3x,

整理得:x2+x=0,解得:x1=0(舍去),x2=﹣1(舍去).

②如圖2②,當PAQ=CBA時,則PAQ∽△CBA

同理可得:AG=PG=x,則P(x,3﹣x),

把P(x,3﹣x)代入y=x2x+3,得:x2x+3=3﹣x,

整理得:x2x=0,解得:x1=0(舍去),x2=,P);

若點G在點A的上方,

①當PAQ=CAB時,則PAQ∽△CAB,

同理可得:點P的坐標為(11,36).

②當PAQ=CBA時,則PAQ∽△CBA

同理可得:點P的坐標為P().

綜上所述:滿足條件的點P的坐標為(11,36)、(,)、(,).

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1

2

3

4

5

6

7

8

選手甲的成績/秒

121

122

13

125

131

125

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122

選手乙的成績/秒

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124

128

13

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x(單位:kg)

10

20

30

y1(單位:/元)

3030

3060

3090

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