Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上，為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)運(yùn)動的點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，求當(dāng)為何值時(shí)，線段的長最大？最大值是多少？并直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)的長取得最大值時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）當(dāng)時(shí)，的長最大，最大值是，；（3）存在，，，

【解析】

（1）根據(jù)直線方程得出A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線，即可求出解析式，再對解析式進(jìn)行配方即可得出D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）用m表示出PQ的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于m的函數(shù)解析式，求解即可；

（3）需要分類討論：①以PQ為邊時(shí)，②以PQ為對角線時(shí)．

解：（1）由直線可知，，

把點(diǎn)和點(diǎn)代入中，得

解得：，

，

又∵，

點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（2）將y=0代入拋物線，

得B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），

∵有（1）得C點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴可知的解析式是，

∴設(shè)，

當(dāng)時(shí)，的長最大，最大值是，

；

（3）存在，在（2）的條件下P點(diǎn)的坐標(biāo)為，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，

①以PQ為邊時(shí)，則AH∥PQ，即H點(diǎn)與A點(diǎn)的橫坐標(biāo)一致時(shí)，能讓以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，此時(shí)根據(jù)設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，a）,

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得│AH│=│PQ│,即│a│-0=，

解得a=±，

∴此時(shí)H的坐標(biāo)有兩種情況：，，

②以PQ為對角線時(shí)，則有AQ∥PH，能讓以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

此時(shí)設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），

根據(jù)圖象和平行四邊形的性質(zhì)可得，

解得，

∴此時(shí)H的坐標(biāo)為：，

綜上符合題意的H點(diǎn)的坐標(biāo)有：，，．