【題目】如圖,已知直線(xiàn)y= x﹣2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)與軸交于另一點(diǎn)B(1,0).
(1)求該拋物線(xiàn)的解析式.
(2)在直線(xiàn)y= x﹣2上方的拋物線(xiàn)上存在一動(dòng)點(diǎn)D,連接AD、CD,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,△DCA的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.
(3)在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)M,使得以M為圓心,以 為半徑的圓與直線(xiàn)AC相切?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(4)在y軸的正半軸上存在一點(diǎn)P,使∠APB的值最大,請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)∠APB最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:把x=0代入y= x﹣2得:y=﹣2.
∴C(0,﹣2).
把y=0代入得: x﹣2=0,解得:x=4.
∴A(4,0).
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x﹣4)(x﹣1),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得:4a=﹣2,解得:a=﹣ .
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣ x2+ x﹣2.
(2)
解:過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線(xiàn)交AC與E,則點(diǎn)D(m,﹣ m2+ m﹣2),E(m, m﹣2).
∴DE=﹣ m2+ m﹣2﹣( m﹣2)=﹣ m2+2m.
∴△DAC的面積S= ×4×(﹣ m2+2m)=﹣m2+4m.
∴當(dāng)m=2時(shí),S的最大值為4.
∴S與m的關(guān)系式為S=﹣m2+4m,△DCA的最大面積為4.
(3)
解:∵⊙M與AC相切,
∴△AMC的AC邊上的高為 .
∵AC=2,OA=4,
∴AC=2 .
∴S△ACM= ×2 × =4.
當(dāng)點(diǎn)M在A(yíng)C的上時(shí),由(2)可知:當(dāng)m=2.
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1).
當(dāng)點(diǎn)M在A(yíng)C的下方時(shí),過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線(xiàn)交AC與E,則點(diǎn)M(m,﹣ m2+ m﹣2),E(m, m﹣2).
∴ME=( m﹣2)﹣(﹣ m2+ m﹣2)= m2﹣2m.
∴△MAC的面積S= ×4×( m2﹣2m)=m2﹣4m.
∴m2﹣4m=4,整理得:m2﹣4m﹣4=0,解得:m=2+2 或m=2﹣2 .
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2+2 , ﹣3)或(2﹣2 ,﹣ ﹣3).
(4)
解:如圖3所示:過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PB,垂足為E.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,a).依據(jù)勾股定理得:AP= .
設(shè)直線(xiàn)BP的解析式為y=kx+a,將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得:k+a=0,解得:k=﹣a.
∴直線(xiàn)PB的解析式為y=﹣ax+a.
設(shè)直線(xiàn)AE的解析式為y= x+b,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得: +b=0,解得:b=﹣ .
∴直線(xiàn)AE的解析式為y= x﹣ .
將y=﹣ax+a與y= x﹣ 聯(lián)立,解得:x= ,y= .
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為( , ).
∴AE= .
∵sin∠APB= ,
∴sin2∠APB= = = = .
∵a2+ ≥2×a =8,
∴當(dāng)a= 時(shí),sin∠APB有最大值,解得a=2或a=﹣2(舍去).
∴當(dāng)a=2時(shí),∠APB有最大值.
∴P(0,2).
【解析】(1)先求得C(0,﹣2)、A(4,0),設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x﹣4)(x﹣1),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求得a的值;(2)過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線(xiàn)交AC與E,則點(diǎn)D(m,﹣ m2+ m﹣2),E(m, m﹣2).則DE=﹣ m2+2m,然后利用三角形的面積公式可得到S與m的函數(shù)關(guān)系式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得到△DCA的面積的最大值;(3)先依據(jù)勾股定理可求得AC的長(zhǎng),然后可得到△ACM的面積=4,當(dāng)點(diǎn)M在A(yíng)C的上時(shí),由(2)可知M(2,1).當(dāng)點(diǎn)M在A(yíng)C的下方時(shí),過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線(xiàn)交AC與E,則點(diǎn)M(m,﹣ m2+ m﹣2),E(m, m﹣2).則ME= m2﹣2m,然后可得到S與m的函數(shù)關(guān)系式,將s=4代入可求得m的值,從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo);(4)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PB,垂足為E.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,a).依據(jù)勾股定理得:AP= .然后再求得BP、AE的解析式,從而可求得點(diǎn)E的坐標(biāo),然后由sin∠APB= ,得到sin2∠APB ,故此當(dāng)a= 時(shí),sin∠APB有最大值,從而可求得a的值.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而減。粚(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而減小才能得出正確答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示中的幾個(gè)圖形是五角星和它的變形.
圖甲中是一個(gè)五角星形狀,求證:;
圖甲中的點(diǎn)A向下移到BE上時(shí)如圖乙五個(gè)角的和即有無(wú)變化?試說(shuō)明理由
把圖乙中的點(diǎn)C向上移動(dòng)到BD上時(shí)如圖丙所示,五個(gè)角的和即有無(wú)變化?試說(shuō)明理由.
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的弦,OB=2,∠B=30°,C是弦AB上的任意一點(diǎn) (不與點(diǎn)A、B重合),連接CO并延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)D,連接AD.
(1)弦長(zhǎng)AB等于(結(jié)果保留根號(hào));
(2)當(dāng)∠D=20°時(shí),求∠BOD的度數(shù);
(3)當(dāng)AC的長(zhǎng)度為多少時(shí),以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、0為頂點(diǎn)的三角形相似?請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程.
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【題目】如圖,四邊形OABC是平行四邊形,邊OC在x軸的負(fù)半軸上,反比例y= (k<0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與BC的中點(diǎn)F,連接AF、OF,若△AOF的面積為9,則k的值為 .
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【題目】如圖,小華在A(yíng)處利用高為1.5米的測(cè)角儀AB測(cè)得樓EF頂部E的仰角為30°,然后前進(jìn)30米到達(dá)C處,又測(cè)得頂部E的仰角為60°,求大樓EF的高度.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù) =1.732)
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【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中,∠DAB=60°,連接對(duì)角線(xiàn)AC,以AC為邊作第二個(gè)菱形,使,連接,再以為邊作第三個(gè)菱形,使;…,按此規(guī)律所作的第六個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為( )
A. 9 B. C. 27 D.
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【題目】如圖,直線(xiàn)AB與CD相交于O,OE⊥AB,OF⊥CD。
(1)圖中與∠COE互補(bǔ)的角是___________________; (把符合條件的角都寫(xiě)出來(lái))
(2)如果∠AOC =∠EOF ,求∠AOC的度數(shù)。
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B均在函數(shù)y= (k>0,x>0)的圖象上,⊙A與x軸相切,⊙B與y軸相切.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,6),⊙A的半徑是⊙B的半徑的2倍,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為( )
A.(2,2)
B.(2,3)
C.(3,2)
D.(4, )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】矩形ABCD中,AC、BD相交于O,AE平分∠BAD交BC于E.
(1)求證:△ABE是等腰直角三角形;
(2)若∠CAE=15°,求證:△ABO是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,求∠BOE的度數(shù).
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