【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于點D,點E在AB上,以AE為直徑的⊙O經過點D.
(1)求證:直線BC是⊙O的切線;
(2)若∠B=30°,AC=3,求圖中陰影部分的面積.
【答案】(1)證明見解析;(2)π-.
【解析】
(1)連接OD,由AD平分∠BAC,可知∠OAD=∠CAD,易證∠ODA=∠OAD,所以∠ODA=∠CAD,所以OD∥AD,由于∠C=90°,所以∠ODB=90°,從而可證直線BC是⊙O的切線;
(2)根據含30度角的直角三角形性質可求出AB的長度,然后求出∠AOD的度數,然后根據扇形的面積公式即可求出答案.
解:(1)連接OD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠OAD=∠CAD,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AD,
∵∠C=90°,
∴∠ODB=90°,
∴OD⊥BC,
∴直線BC是⊙O的切線;
(2)由∠B=30°,∠C=90°,∠ODB=90°,
得:AB=2AC=6,OB=2OD,∠AOD=120°,
∠DAC=30°,
∵OA=OD,
∴OB=2OA,
∴OA=OD=2,
由∠DAC=30°,得DC=,
∴S陰影=S扇形OAD-S△OAD
=π×4-×2×
=π-.
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【題目】“小組合作制”正在七年級如火如茶地開展,旨在培養(yǎng)七年級學生的合作學習的精神和能力,學會在合作中自主探索.數學課上,吳老師在講授“角平分線”時,設計了如下四種教學方法:①教師講授,學生練習;②學生合作交流,探索規(guī)律;③教師引導學生總結規(guī)律,學生練習;④教師引導學生總結規(guī)律,學生合作交流,吳老師將上述教學方法作為調研內容發(fā)到七年級所有同學手中要求每位同學選出自己最喜歡的一種,然后吳老師從所有調查問卷中隨機抽取了若干份調查問卷作為樣本,統(tǒng)計如下:
序號①②③④代表上述四種教學方法,圖二中,表示①部分的扇形的中心角度數為36°,請回答問題:
(1)在后來的抽樣調查中,吳老師共抽取 位學生進行調查;并將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)圖二中,表示③部分的扇形的中心角為多少度?
(3)若七年級學生中選擇④種教學方法的有540人,請估計七年級總人數約為多少人?
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【題目】如圖,直線l1∥l2∥l3,一等腰直角三角形ABC的三個頂點A,B,C分別在l1,l2,l3上,∠ACB=90°,AC交l2與點D.已知l1與l2的距離為1,l2與l3的距離為3,則線段CD的長等于______.
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【題目】小明和小亮玩一個游戲:三張大小、質地都相同的卡片上分別標有數字2,3,4(背面完全相同),現(xiàn)將標有數字的一面朝下.小明從中任意抽取一張,記下數字后放回洗勻,然后小亮從中任意抽取一張,計算小明和小亮抽得的兩個數字之和.若和為奇數,則小明勝;若和為偶數,則小亮勝.
(1)請你用畫樹狀圖或列表的方法,求出這兩數和為6的概率.
(2)你認為這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎?說說你的理由.
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=,以AB為斜邊另作Rt△APB,連接PC,當點P在AC左側時,下列結論正確的是( 。
A. 的度數不確定B.
C. 當時,D. 當時,
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【題目】在20km越野賽中,甲乙兩選手的行程y(單位:km)隨時間x(單位:h)變化的圖象如圖所示,根據圖象信息,下列說法:①兩人相遇前,甲速度一直小于乙速度;②出發(fā)后1小時,兩人行程均為10km;③出發(fā)后1.5小時,甲的行程比乙多3km;④甲比乙先到達終點.其中正確的說法是_________(填序號).
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【題目】如圖,直線l1:y=x+12與x軸、y軸分別交于A、B兩點,直線l2與x軸、y軸分別交于C、B兩點,且AB:BC=3:4.
(1)求直線l2的解析式,并直接判斷△ABC的形狀(不需說明理由);
(2)如圖1,P為直線l1上一點,橫坐標為12,Q為直線l2上一動點,當PQ+CQ最小時,將線段PQ沿射線PA方向平移,平移后P、Q的對應點分別為P'、Q',當OQ'+BQ'最小時,求點Q'的坐標;
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【題目】為積極繪就我市“一福地、四名城”建設的宏偉藍圖,某鎮(zhèn)大力發(fā)展旅游業(yè),一店鋪專門售賣地方特產“曲山老鵝”,以往銷售數據表明,該“曲山老鵝”每天銷售數量y(只)與銷售單價x(元)滿足一次函數y=-x+110,每只“曲山老鵝”各項成本合計為20元/只.
(1)該店鋪“曲山老鵝”銷售單價x定為多少時,每天獲利最大?最大利潤是多少?
(2)該店店主關心教育,決定今后的一段時間從每天的銷售利潤中捐出200元給當地學校作為本學期優(yōu)秀學生的獎勵資金,為了保證該店捐款后每天剩余利潤不低于4000元,試確定該“曲山老鵝”銷售單價的范圍.
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【題目】“如果二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根.”請根據你對這句話的理解,解決下面問題:若m、n(m<n)是關于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的兩根,且a<b,則a、b、m、n的大小關系是( ).
A. B.
C. D.
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