【題目】(2016浙江省衢州市)如圖1,在直角坐標(biāo)系xoy中,直線l:y=kx+b交x軸,y軸于點(diǎn)E,F,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,2),過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線,垂足為A、C,點(diǎn)D是線段CO上的動(dòng)點(diǎn),以BD為對稱軸,作與△BCD或軸對稱的△BC′D.
(1)當(dāng)∠CBD=15°時(shí),求點(diǎn)C′的坐標(biāo).
(2)當(dāng)圖1中的直線l經(jīng)過點(diǎn)A,且時(shí)(如圖2),求點(diǎn)D由C到O的運(yùn)動(dòng)過程中,線段BC′掃過的圖形與△OAF重疊部分的面積.
(3)當(dāng)圖1中的直線l經(jīng)過點(diǎn)D,C′時(shí)(如圖3),以DE為對稱軸,作于△DOE或軸對稱的△DO′E,連結(jié)O′C,O′O,問是否存在點(diǎn)D,使得△DO′E與△CO′O相似?若存在,求出k、b的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)C′(,1);(2);(3)存在,k=,b=1.
【解析】試題(1)利用翻折變換的性質(zhì)得出∠CBD=∠C′BD=15°,C′B=CB=2,進(jìn)而得出CH的長,進(jìn)而得出答案;
(2)首先求出直線AF的解析式,進(jìn)而得出當(dāng)D與O重合時(shí),點(diǎn)C′與A重合,且BC′掃過的圖形與△OAF重合部分是弓形,求出即可;
(3)根據(jù)題意得出△DO′E與△COO′相似,則△COO′必是Rt△,進(jìn)而得出Rt△BAE≌Rt△BC′E(HL),再利用勾股定理求出EO的長進(jìn)而得出答案.
試題解析:(1)∵△CBD≌△C′BD,∴∠CBD=∠C′BD=15°,C′B=CB=2,∴∠CBC′=30°,如圖1,作C′H⊥BC于H,則C′H=1,HB=,∴CH=,∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為:(,1);
(2)如圖2,∵A(2,0),,∴代入直線AF的解析式為:,∴b=,則直線AF的解析式為:,∴∠OAF=30°,∠BAF=60°,∵在點(diǎn)D由C到O的運(yùn)動(dòng)過程中,BC′掃過的圖形是扇形,∴當(dāng)D與O重合時(shí),點(diǎn)C′與A重合,且BC′掃過的圖形與△OAF重合部分是弓形,當(dāng)C′在直線上時(shí),BC′=BC=AB,∴△ABC′是等邊三角形,這時(shí)∠ABC′=60°,∴重疊部分的面積是:=;
(3)如圖3,設(shè)OO′與DE交于點(diǎn)M,則O′M=OM,OO′⊥DE,若△DO′E與△COO′相似,則△COO′必是Rt△,在點(diǎn)D由C到O的運(yùn)動(dòng)過程中,△COO′中顯然只能∠CO′O=90°,∴CO′∥DE,∴CD=OD=1,∴b=1,連接BE,由軸對稱性可知C′D=CD,BC′=BC=BA,∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°,在Rt△BAE和Rt△BC′E中,∵BE=BE,AB=BC′,∴Rt△BAE≌Rt△BC′E(HL),∴AE=C′E,∴DE=DC′+C′E=DC+AE,設(shè)OE=x,則AE=2﹣x,∴DE=DC+AE=3﹣x,由勾股定理得:,解得:x=,∵D(0,1),E(,0),∴,解得:k=,∴存在點(diǎn)D,使△DO′E與△COO′相似,這時(shí)k=,b=1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,P是AD上一動(dòng)點(diǎn),O為BD的中點(diǎn),連接PO并延長,交BC于點(diǎn)Q.
(1) 求證:四邊形PBQD是平行四邊形
(2) 若AD=6cm,AB=4cm, 點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)D重合),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s , 請用含t的代數(shù)式表示PD的長,并求出當(dāng)t為何值時(shí),四邊形PBQD是菱形。并求出此時(shí)菱形的周長。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人分別從相距100km的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行,并以各自的速度勻速行駛.甲出發(fā)2h后到達(dá)B地立即按原路返回,返回時(shí)速度提高了30km/h,回到A地后在A地休息等乙,乙在出發(fā)5h后到達(dá)A地.(友情提醒:可以借助用線段圖分析題目)
(1)乙的速度是_______,甲從A地到B地的速度是_______,甲在出發(fā)_______小時(shí)到達(dá)A地.
(2)出發(fā)多長時(shí)間兩人首次相遇?
(3)出發(fā)多長時(shí)間時(shí),兩人相距30千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系上有個(gè)點(diǎn)A(﹣1,0),點(diǎn)A第1次向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)A1(﹣1,1),緊接著第2次向右跳動(dòng)2個(gè)單位至點(diǎn)A2(1,1),第3次向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)A3,第4次向左跳動(dòng)3個(gè)單位至點(diǎn)A4,第5次又向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)A5,第6次向右跳動(dòng)4個(gè)單位至點(diǎn)A6,……,依此規(guī)律跳動(dòng)下去,點(diǎn)A第2019次跳動(dòng)至點(diǎn)A2019的坐標(biāo)是____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上,頂點(diǎn)B在x軸正半軸上.若拋物線p=ax2-10ax+8(a>0)經(jīng)過點(diǎn)C、D,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC中點(diǎn),AE∥BD,且AE=BD.
(1)求證:四邊形AEBD是矩形;
(2)連接CE交AB于點(diǎn)F,若BE=2,AE=2,求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀材料,并回答下列問題
如圖1,以AB為軸,把△ABC翻折180°,可以變換到△ABD的位置;
如圖2,把△ABC沿射線AC平移,可以變換到△DEF的位置.像這樣,其中的一個(gè)三角形是另一個(gè)三角形經(jīng)翻折、平移等方法變換成的,這種只改變位置,不改變形狀大小的圖形變換,叫三角形的全等變換.班里學(xué)習(xí)小組針對三角形的全等變換進(jìn)行了探究和討論
(1)請你寫出一種全等變換的方法(除翻折、平移外), .
(2)如圖2,前進(jìn)小組把△ABC沿射線AC平移到△DEF,若平移的距離為2,且AC=5,則DC= .
(3)如圖3,圓夢小組展開了探索活動(dòng),把△ABC紙片沿DE折疊,使點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部點(diǎn)A′的位置,且得出一個(gè)結(jié)論:2∠A′=∠1+∠2.請你對這個(gè)結(jié)論給出證明.
(4)如圖4,奮進(jìn)小組則提出,如果把△ABC紙片沿DE折疊,使點(diǎn)A落在四邊形BCDE外部點(diǎn)A′的位置,此時(shí)∠A′與∠1、∠2之間結(jié)論還成立嗎?若成立,請給出證明,若不成立,寫出正確結(jié)論并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊AB上,連接DE,取DE的中點(diǎn)F,連接EO并延長交CD于點(diǎn)G.若BE=3CG,OF=2,則線段AE的長是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(問題情境)一節(jié)數(shù)學(xué)課后,老師布置了一道課后練習(xí)題:
如圖:已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E、F分別在A和BC上,∠1=∠2,FG⊥AB于點(diǎn)G,求證:△CDE≌△EGF.
(1)閱讀理解,完成解答
本題證明的思路可用下列框圖表示:
根據(jù)上述思路,請你完整地書寫這道練習(xí)題的證明過程;
(2)特殊位置,證明結(jié)論
若CE平分∠ACD,其余條件不變,求證:AE=BF;
(3)知識(shí)遷移,探究發(fā)現(xiàn)
如圖,已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,若點(diǎn)E是DB的中點(diǎn),點(diǎn)F在直線CB上且滿足EC=EF,請直接寫出AE與BF的數(shù)量關(guān)系.(不必寫解答過程)
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