【題目】如圖,在ABC中,AB=AC,AE是角平分線,BM平分∠ABCAE于點(diǎn)M,經(jīng)過(guò)B、M兩點(diǎn)的⊙OBC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F,F(xiàn)B恰為⊙O的直徑.

(1)判斷AE與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;

(2)若BC=6,AC=4CE時(shí),求⊙O的半徑.

【答案】(1)AE與⊙O相切.理由見(jiàn)解析.(2)2.4

【解析】

(1)連接OM,則OM=OB,利用平行的判定和性質(zhì)得到OM∥BC,∠AMO=∠AEB,再利用等腰三角形的性質(zhì)和切線的判定即可得證;

(2)設(shè)⊙O的半徑為r,AO=12﹣r,利用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的有關(guān)知識(shí)得到AB=12,易證△AOM∽△ABE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

解:(1)AE⊙O相切.

理由如下:

連接OM,則OM=OB,

∴∠OMB=∠OBM,

∵BM平分∠ABC,

∴∠OBM=∠EBM,

∴∠OMB=∠EBM,

∴OM∥BC,

∴∠AMO=∠AEB,

△ABC中,AB=AC,AE是角平分線,

∴AE⊥BC,

∴∠AEB=90°,

∴∠AMO=90°,

∴OM⊥AE,

∴AE⊙O相切;

(2)在△ABC中,AB=AC,AE是角平分線,

∴BE=BC,∠ABC=∠C,

∵BC=6,cosC=,

∴BE=3,cos∠ABC=,

△ABE中,∠AEB=90°,

∴AB===12,

設(shè)⊙O的半徑為r,則AO=12﹣r,

∵OM∥BC,

∴△AOM∽△ABE,

,

=

解得:r=2.4,

∴⊙O的半徑為2.4.

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-

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1

2

y

-

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1

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