Question

如圖，菱形ABCD中，P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，E,F分別為AB、BC中點(diǎn)，若AC=8，BD=6，則PE+PF的最小值為___________。

Answer 1

5

試題分析：設(shè)AC交BD于O，作E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接NF，交AC于P，則此時(shí)EP+FP的值最小，根據(jù)菱形的性質(zhì)推出N是AD中點(diǎn)，P與O重合，推出PE+PF=NF=AB，根據(jù)勾股定理求出AB的長即可．
設(shè)AC交BD于O，作E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接NF，交AC于P，則此時(shí)EP+FP的值最小，

∴PN=PE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴N在AD上，且N為AD的中點(diǎn)，
∵AD∥CB，
∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，
∵AD=BC，N為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，
∴AN=CF，
在△ANP和△CFP中
∠ANP=∠CFP，AN=CF，∠NAP=∠CFP，
∴△ANP≌△CFP（ASA），
∴AP=CP，
即P為AC中點(diǎn)，
∵O為AC中點(diǎn)，
∴P、O重合，
即NF過O點(diǎn)，
∵AN∥BF，AN=BF，
∴四邊形ANFB是平行四邊形，
∴NF=AB，
∵菱形ABCD，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，OA=4，OB=3，
，
則PE+PF的最小值為5.
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是理解題意確定出P的位置和求出AB=NF=EP+FP，題目比較典型，綜合性比較強(qiáng)．