【題目】如圖,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于點(diǎn) D,O 為 AB 上一點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn) A、D 的⊙O 分別交 AB、AC 于點(diǎn) E、F,
(1)求證:BC 是⊙O 切線;
(2)設(shè) AB=m,AF=n,試用含 m、n 的代數(shù)式表示線段 AD 的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)連接OD,由AD為角平分線得到∠BAD=∠CAD,再由等邊對(duì)等角得到∠OAD=∠ODA,等量代換得到∠ODA=∠CAD,進(jìn)而得到OD∥AC,得到OD與BC垂直,即可得證;
(2)連接DF,由(1)得到BC為圓O的切線,結(jié)合角度的運(yùn)算得出∠CDF=∠DAF,進(jìn)而得到∠AFD=∠ADB,結(jié)合∠BAD=∠DAF得到△ABD∽△ADF,由相似得比例,即可表示出AD;
(1)證明:如圖,連接OD,則OD為圓O的半徑,
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC,
∴∠ODC=∠C=90°
即OD⊥BC,
∴BC 是⊙O 切線.
(2)連接DF,OF,由(1)知BC為圓O的切線,
∴∠ODC=90°,
∴∠ODF+∠CDF=90°,
∴∠ODF=90°-∠CDF,
∵OD=OF,
∴∠ODF=∠OFD=,
又∵∠DAF=,
∴∠ODF=
∴∠CDF=∠DAF
又∵∠CDF+∠CFD=90°,∠DAF+∠CDA=90°,
∴∠CDA=∠CFD,
∴∠AFD=∠ADB,
∵∠BAD=∠DAF,
∴△ABD∽△ADF,
∴,則
∵AB=m,AF=n,
∴
∴
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,要在寬為22米的大道兩邊安裝路燈,路燈的燈臂CD長(zhǎng)2米,且與燈柱BC成120°角,路燈采用圓錐形燈罩,燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直,當(dāng)燈罩的軸線DO通過(guò)公路路面的中心線時(shí)照明效果最佳,求路燈的燈柱BC高度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司開(kāi)發(fā)出一款新的節(jié)能產(chǎn)品,該產(chǎn)品的成本價(jià)為6元件,該產(chǎn)品在正式投放市場(chǎng)前通過(guò)代銷點(diǎn)進(jìn)行了為期一個(gè)月(30天)的試營(yíng)銷,售價(jià)為9元/件,工作人員對(duì)銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄,并將記錄情況繪成圖象,圖中的折線ODE表示日銷售量y(件)與銷售時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系,已知線段DE表示的函數(shù)關(guān)系中,時(shí)間每增加1天,日銷售量減少4件,
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)日銷售利潤(rùn)不低于960元的天數(shù)共有多少天?試銷售期間,日銷售最大利潤(rùn)是多少元?
(3)工作人員在統(tǒng)計(jì)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn),有連續(xù)兩天的銷售利潤(rùn)之和為1980元,請(qǐng)你算出是哪兩天.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某水果批發(fā)商經(jīng)銷一種高檔水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下,若每千克漲價(jià)1元,日銷售量將減少20千克.
(1)現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6080元,同時(shí)又要顧客得到實(shí)惠,那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元?
(2)若該商場(chǎng)單純從經(jīng)濟(jì)角度看,每千克這種水果漲價(jià)多少元,能使商場(chǎng)獲利最多?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)(k>0)的圖像交于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A做x軸的垂線,垂足為M,△AOM面積為1.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)在y軸上求一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,并求出其最小值和P點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四邊形是的內(nèi)接四邊形,,,垂足為.
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,且,連接、,求證:;
(3)如圖3,在(2)的條件下,若,,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小王騎車從甲地到乙地,小李騎車從乙地到甲地,小王的速度小于小李的速度,兩人同時(shí)出發(fā),沿同一條公路勻速前進(jìn).圖中的折線表示兩人之間的距離與小王的行駛時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系.
請(qǐng)你根據(jù)圖象進(jìn)行探究:
(1)小王和小李的速度分別是多少?
(2)求線段所表示的與之間的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出自變量的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊,使邊DC落在對(duì)角線AC上,折痕為CE,且D點(diǎn)落在對(duì)角線D′處.若AB=3,AD=4,則ED的長(zhǎng)為
A. B.3 C.1 D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明有5根小棒,長(zhǎng)度分別為3cm,4cm,5cm,6cm,7cm,現(xiàn)從中任選3根小棒,怡好能搭成三角形的概率是______
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