Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．

（1）求證：OF∥BC；

（2）求證：△AFO≌△CEB；

（3）若EB=5cm，CD=10cm，設(shè)OE=x，求x值及陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）x=5，陰影部分的面積為（﹣25）cm2．

【解析】

（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，以及垂直于同一直線的兩直線平行即可證得；

（2）根據(jù)垂徑定理以及等弧所對的圓周角相等，即可證得：△AFO和△CEB的兩個角相等，從而證得兩個三角形相似；

（3）根據(jù)勾股定理求得x的值，然后根據(jù)陰影部分的面積=扇形COD的面積-△COD的面積即可求解．

（1）∵AB為⊙O的直徑，

∴AC⊥BC，

又∵OF⊥AC，

∴OF∥BC；

（2）∵AB⊥CD，AB是直徑，

∴，

∴∠CAB=∠BCD，

又∵∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE，

∴△AFO≌△CEB；

（3）連接DO，

∵AB⊥CD，

∴CE=CD=5cm，

在△OCB中，OC=OB=OE+BE=x+5（cm），

根據(jù)勾股定理可得：（x+5）2=（5）2+x2，

解得：x=5，即OE=5cm，

∴tan∠COE=，

∴∠COE=60°，

∴∠COD=120°，

∴扇形COD的面積是：cm2，

△COD的面積是：CDOE=×10×5=25cm2

∴陰影部分的面積是：（﹣25）cm2．