Question

【題目】如圖，在中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的下方作等腰直角三角形．

（1）填空：的面積等于 ；

（2）連接，求證：是的平分線；

（3）點(diǎn)在邊上，且， 當(dāng)從點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)停止時(shí)，求點(diǎn)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)路程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形的面積計(jì)算公式直接計(jì)算可得；

（2）如圖所示作出輔助線，證明△AEM≌△DEN（AAS），得到ME=NE，即可利用角平分線的判定證明；

（3）由（2）可知點(diǎn)E在∠ACB的平分線上，當(dāng)點(diǎn)D向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E的路徑為一條直線，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CN=，根據(jù)CD的長度計(jì)算出CE的長度即可．

解：（1）

∴，

故答案為：

（2）連接CE，過點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，

∴∠EMA=∠END=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠MEN=90°，

∴∠MED+∠DEN=90°，

∵△ADE是等腰直角三角形

∴∠AED=90°，AE=DE

∴∠AEM+∠MED=90°，

∴∠AEM=∠DEN

∴在△AEM與△DEN中，

∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN，AE=DE

∴△AEM≌△DEN（AAS）

∴ME=NE

∴點(diǎn)E在∠ACB的平分線上，

即是的平分線

（3）由（2）可知，點(diǎn)E在∠ACB的平分線上，

∴當(dāng)點(diǎn)D向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E的路徑為一條直線，

∵△AEM≌△DEN

∴AM=DN，

即AC-CM=CN-CD

在Rt△CME與Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，

∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）

∴CM=CN

∴CN=，

又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，

∴CE=，

當(dāng)AC=3，CD=CO=1時(shí)，

CE=

當(dāng)AC=3，CD=CB=7時(shí)，

CE=

∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為：，