【題目】已知等腰ABC中,∠BAC=90°BC=4,PBC上一動(dòng)點(diǎn),∠MPN=45°,PM、PN分別與AB、AC交于點(diǎn)E、F,且PMAB,BE=x.

(1)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng),求四邊形AEPF的面積(用x的代數(shù)式表示)并寫(xiě)出x的取值范圍

(2)當(dāng)點(diǎn)PBC上運(yùn)動(dòng)時(shí),EPF能否為直角三角形,若能,請(qǐng)寫(xiě)出此時(shí)x的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1)四邊形AEPF的面積=;(2x的值為.

【解析】

1)首先證明ABC、BEP、FPC是等腰直角三角形,然后根據(jù)等腰直角三角形的邊之間的關(guān)系求出AB、BPPC,根據(jù)四邊形AEPF的面積=列式整理,然后求出AF,根據(jù)AF大于0以及AB=可得x的取值范圍;

2)由∠MPN=45°可知當(dāng)EPF為直角三角形時(shí),EPF是等腰直角三角形,然后分情況討論:①當(dāng)∠EFP90°時(shí),②當(dāng)∠FEP90°時(shí),分別根據(jù)等腰直角三角形的邊之間的關(guān)系列出方程求解即可.

解:(1)∵ABC是等腰直角三角形,且PMAB,

BEP是等腰直角三角形,

∵∠MPN=45°,

∴∠BPN90°,即PNBC,

FPC是等腰直角三角形,

BC=4,BE=x,

AB=AC=,BP=,

PC=PF=,

∴四邊形AEPF的面積=,

,

,

,

PC=PF=,

CF=,

AF=AC-CF=,

AF0,即

,

又∵AB=,

,

故四邊形AEPF的面積=;

2)∵∠MPN=45°,

∴當(dāng)EPF為直角三角形時(shí),EPF是等腰直角三角形,

分情況討論:

①當(dāng)∠EFP90°時(shí),EP為斜邊,

由(1)可知,EP=x,PF=,

EP=PF,即,

解得:;

②當(dāng)∠FEP90°時(shí),FP為斜邊,

由(1)可知,EP=x,PF=,

PF=EP,即,

解得:,

綜上所述,當(dāng)△EPF為直角三角形時(shí),x的值為.

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②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等, 是否可能全等?若能,求出全等時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

2)若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā),點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng),求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在的哪條邊上相遇?

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