Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經過A（0，2），B（2，﹣2）兩點．

⑴用含a的式子表示b．

⑵當a=﹣時，y=ax2+bx+c的函數值為正整數，求滿足條件的x值．

⑶若a＞0，線段AB下方的拋物線上有一點E，求證：不管a取何值，當△EAB的面積最大時，E點的橫坐標為定值．

Answer 1

【答案】（1）b=﹣2a﹣2；（2）x=﹣2或x=0或x=－1+或x=－1－；（3）證明見解析

【解析】

（1）利用待定系數法建立方程組求解即可得出結論；

（2）先求出拋物線解析式，配方得：y=，由y是正整數，得出（x+1）2=1或（x+1）2=3，解方程即可得出結論；

（3）根據三角形的面積的計算方法建立函數關系式，即可得出結論．

（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經過A（0，2），B（2，﹣2），∴，∴，即：b=﹣2a﹣2；

（2）由（1）知，c=2，b=﹣2a﹣2．

∵a，∴b=﹣1，∴拋物線解析式為yx2﹣x+2（x+1）2=．

∵y=ax2+bx+c的函數值為正整數，即為正整數，∴（x+1）2=1或（x+1）2=3，解得：x=﹣2或x=0或x=－1+或x=－1－；

（3）由（1）知，c=2，b=﹣2a﹣2，∴拋物線的解析式為y=ax2﹣（2a+2）x+2．

∵A（0，2），B（2，﹣2），∴直線AB的解析式為y=﹣2x+2．

∵點E在線段AB下方的拋物線上，設點E（m，am2﹣（2a+2）m+2），過點E作y軸的平行線，交AB于F，∴F（m，﹣2m﹣2），∴EF=﹣2m﹣2﹣[am2﹣（2a+2）m+2]=﹣a（m﹣1）2+a，∴S△EABEF×|xB﹣xA|=EF=﹣a（m﹣1）2+a．

∵a＞0，∴﹣a＜0，∴m=1時，△EAB面積最大，即：不管a取大于0的何值，當△EAB的面積最大時，E點的橫坐標為定值，定值為1．