【題目】(2016四川省樂山市第24題)如圖,正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點,過點A作AC垂直x軸于點C,連結(jié)BC.若△ABC的面積為2.

(1)求k的值;

(2)x軸上是否存在一點D,使ABD為直角三角形?若存在,求出點D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)k=2;(2)D(5,0)或(﹣5,0)或(,0)或D(,0

【解析】

試題分析:(1)首先根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象特征,可知A、B兩點關(guān)于原點對稱,則O為線段AB的中點,故BOC的面積等于AOC的面積,都等于1,然后由反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義,可知AOC的面積等于,從而求出k的值;

(2)先將聯(lián)立成方程組,求出A、B兩點的坐標(biāo),然后分三種情況討論:當(dāng)ADAB時,求出直線AD的關(guān)系式,令y=0,即可確定D點的坐標(biāo);當(dāng)BDAB時,求出直線BD的關(guān)系式,令y=0,即可確定D點的坐標(biāo);當(dāng)ADBD時,由O為線段AB的中點,可得OD=AB=OA,然后利用勾股定理求出OA的值,即可求出D點的坐標(biāo).

試題解析:(1)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點,A、B兩點關(guān)于原點對稱,OA=OB,∴△BOC的面積=AOC的面積=2÷2=1,又A是反比例函數(shù)圖象上的點,且ACx軸于點C,∴△AOC的面積=,,k>0,k=2.故這個反比例函數(shù)的解析式為;

(2)x軸上存在一點D,使ABD為直角三角形.將聯(lián)立成方程組得:,解得:,A(1,2),B(﹣1,﹣2),

當(dāng)ADAB時,如圖1,

設(shè)直線AD的關(guān)系式為,將A(1,2)代入上式得:,直線AD的關(guān)系式為,令y=0得:x=5,D(5,0);

當(dāng)BDAB時,如圖2,

設(shè)直線BD的關(guān)系式為,將B(﹣1,﹣2)代入上式得:,直線AD的關(guān)系式為,令y=0得:x=﹣5,D(﹣5,0);

當(dāng)ADBD時,如圖3,

O為線段AB的中點,OD=AB=OA,A(1,2),OC=1,AC=2,由勾股定理得:OA==,OD=D(,0),

根據(jù)對稱性,當(dāng)D為直角頂點,且D在x軸負(fù)半軸時,D(,0);

故x軸上存在一點D,使ABD為直角三角形,點D的坐標(biāo)為(5,0)或(﹣5,0)或(,0)或D(,0

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(1)直接寫出點D的坐標(biāo);

(2)過點C作CE⊥AD,交AB交于F,垂足為E.

①求證:OF=OG;(3分) ②求點F的坐標(biāo).

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