【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,點P從點B出發(fā),沿對角線BD向點D勻速運動,速度為4cm/s,過點P作PQ⊥BD交BC于點Q,以PQ為一邊作正方形PQMN,使得點N落在射線PD上,點O從點D出發(fā),沿DC向點C勻速運動,速度為3m/s,以O(shè)為圓心,0.8cm為半徑作⊙O,點P與點O同時出發(fā),設(shè)它們的運動時間為t(單位:s)(0<t< ).

(1)如圖1,連接DQ平分∠BDC時,t的值為;
(2)如圖2,連接CM,若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形,求t的值;
(3)請你繼續(xù)進行探究,并解答下列問題:
①證明:在運動過程中,點O始終在QM所在直線的左側(cè);
②如圖3,在運動過程中,當(dāng)QM與⊙O相切時,求t的值;并判斷此時PM與⊙O是否也相切?說明理由.

【答案】
(1)
(2)

解:解:如圖2中,作MT⊥BC于T.

∵MC=MQ,MT⊥CQ,

∴TC=TQ,

由(1)可知TQ= (8﹣5t),QM=3t,

∵MQ∥BD,

∴∠MQT=∠DBC,

∵∠MTQ=∠BCD=90°,

∴△QTM∽△BCD,

,

∴t= (s),

∴t= s時,△CMQ是以CQ為底的等腰三角形


(3)

解:①證明:如圖2中,由此QM交CD于E,

∵EQ∥BD,

= ,

∴EC= (8﹣5t),ED=DC﹣EC=6﹣ (8﹣5t)= t,

∵DO=3t,

∴DE﹣DO= t﹣3t= t>0,

∴點O在直線QM左側(cè).

②解:如圖3中,由①可知⊙O只有在左側(cè)與直線QM相切于點H,QM與CD交于點E.

∵EC= (8﹣5t),DO=3t,

∴OE=6﹣3t﹣ (8﹣5t)= t,

∵OH⊥MQ,

∴∠OHE=90°,

∵∠HEO=∠CEQ,

∴∠HOE=∠CQE=∠CBD,

∵∠OHE=∠C=90°,

∴△OHE∽△BCD,

,

,

∴t=

∴t= s時,⊙O與直線QM相切.

連接PM,假設(shè)PM與⊙O相切,則∠OMH= PMQ=22.5°,

在MH上取一點F,使得MF=FO,則∠FMO=∠FOM=22.5°,

∴∠OFH=∠FOH=45°,

∴OH=FH=0.8,F(xiàn)O=FM=0.8 ,

∴MH=0.8( +1),

得到HE= ,

得到EQ= ,

∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣ = ,

∴0.8( +1)≠ ,矛盾,

∴假設(shè)不成立.

∴直線MQ與⊙O不相切.


【解析】(1)解:如圖1中
,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°,AB=CD=6.AD=BC=8,
∴BD= = =10,
∵PQ⊥BD,
∴∠BPQ=90°=∠C,
∵∠PBQ=∠DBC,
∴△PBQ∽△CBD,
,
,
∴PQ=3t,BQ=5t,
∵DQ平分∠BDC,QP⊥DB,QC⊥DC,
∴QP=QC,
∴3t=6﹣5t,
∴t= ,
所以答案是

練習(xí)冊系列答案
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(1)求證△OBD為等腰三角形;

(2)求點E的坐標(biāo);

(3)坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點F,使得以點B,E,F(xiàn),O為頂點的四邊形是平行四邊形,若存在,請直接寫出點F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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星期

增減/

﹣1

+3

﹣2

+4

+7

﹣5

﹣10

(1)生產(chǎn)量最多的一天比生產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)多少噸?

(2)本周總生產(chǎn)量是多少噸?比原計劃增加了還是減少了?增減數(shù)為多少噸?

(3)若本周總生產(chǎn)的產(chǎn)品全部由35輛貨車一次性裝載運輸離開工廠,則平均每輛貨車大約需裝載多少噸?(結(jié)果精確到0.01噸)

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②當(dāng)PB=6時,求t的值:

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候選教師

丁老師

俞老師

李老師

陳老師

得票數(shù)

200

300


(1)若共有25位教師代表參加投票,則李老師得到的教師票數(shù)是多少?請補全條形統(tǒng)計圖.(畫在答案卷相對應(yīng)的圖上)
(2)丁老師與李老師得到的學(xué)生總票數(shù)是600,且丁老師得到的學(xué)生票數(shù)是李老師得到的學(xué)生票數(shù)的3倍多40票,求丁老師與李老師得到的學(xué)生票數(shù)分別是多少?
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