Question

【題目】如圖，矩形OABC的邊OA，OC分別與坐標軸重合，并且點B的坐標為.將該矩形沿OB折疊，使得點A落在點E處，OE與BC的交點為D.

（1）求證：△OBD為等腰三角形；

（2）求點E的坐標；

（3）坐標平面內是否存在一點F，使得以點B，E，F(xiàn)，O為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)點E的坐標為；（3）F點坐標為，，.

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質，得到△OBE≌△OBA，由此得到∠EOB=∠AOB，然后根據(jù)矩形的性質和平行線的性質得到OD=BD，即△OBD是等腰三角形；

（2）過點E作軸于F交BC于G，設CD的長為，則，由（1）值OD=8-x，然后根據(jù)勾股定理求出CD、OB、BD的長，再根據(jù)AAS證得△OCD≌△BED，得到，最后根據(jù)三角形的面積求出EG的長，進而利用矩形的性質和勾股定理求出E點的坐標；

（3）根據(jù)平行四邊形的判定與性質，分類討論F點的坐標即可.

(1)∵是由折疊所得

∴≌.，

∴，

又∵四邊形OABC是矩形

∴.，

∴

∴，

∴為等腰三角形；

（2）過點E作軸于F交BC于G

設CD的長為，則

由(1)知

∵四邊形OABC是矩形

∴

∴在中

即

解得

即

由(1)知≌

∴

∴

∴ 在△OCD和△BED中

∴△OCD≌△BED

∴

∵軸

∴

∵

∴

∴

∴

即

∴.

∴在中

∵

∴四邊形OFGC是矩形

∴

.

∴點E的坐標為；

（3） .