Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形AOBC的邊長為8，∠AOB=60°． 點D是邊OB上一動點，點E在BC上，且∠DAE=60°．

有下列結(jié)論：

①點C的坐標為（12，）；②BD=CE；

③四邊形ADBE的面積為定值；

④當D為OB的中點時，△DBE的面積最小．

其中正確的有_______．（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①過點C作CF⊥OB，垂足為點F，求出BF=4，CF=，即可求出點C坐標；②連結(jié)AB，證明△ADB≌△AEC，則BD=CE；③由S△ADB=S△AEC，可得S△ABC=S△四邊形ADBE=×8×=；④可證△ADE為等邊三角形，當D為OB的中點時，AD⊥OB，此時AD最小，則S△ADE最小，由③知S四邊形ADBE為定值，可得S△DBE最大．

解：①過點C作CF⊥OB，垂足為點F，

∵四邊形AOBC為菱形，
∴OB=BC=8，∠AOB=∠CBF=60°，
∴BF=4，CF=，

∴OF=8+4=12，

∴點C的坐標為（12，），故①正確；

②連結(jié)AB，
∵BC=AC=AO=OB，∠AOB=∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，△AOB是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠DAE=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵∠ABD=∠ACE=60°，
∴△ADB≌△AEC（ASA），
∴BD=CE，故②正確；

③∵△ADB≌△AEC．
∴S△ADB=S△AEC，
∴S△ABC=S△四邊形ADBE=×8×=，故③正確；

④∵△ADB≌△AEC，
∴AD=AE，

∵∠DAE=60°，
∴△ADE為等邊三角形，
當D為OB的中點時，AD⊥OB，
此時AD最小，則S△ADE最小，
由③知S四邊形ADBE為定值，可得S△DBE最大．
故④不正確；

故答案為：①②③．