Question

【題目】如圖，在矩形BCOG中，OC＝3，點(diǎn)A為邊OG上一點(diǎn)，OA＝，AB，∠CBA＝30°．動(dòng)點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C出發(fā)沿CO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于點(diǎn)F，連接AD、DE、EF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒．

（1）求DF的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）

（2）求證：四邊形ADFE為平行四邊形；

（3）探索當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF與以D，E，F為頂點(diǎn)的三角形相似？

Answer 1

【答案】(1)DF＝2t;(2)見解析；(3) t＝或t＝

【解析】

（1）在直角三角形中，30°對(duì)應(yīng)的直角邊為斜邊的一半；

（2）對(duì)邊相等且平行的四邊形ADFE為平行四邊形；

（3）分2種情況討論。

（1）∵DF∥AB，

∴∠CFD＝∠CBA＝30°，

∵△CDF是直角三角形，∠CFD＝30°

∴DF＝2CD＝2t；

（2）∵動(dòng)點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，

∴AE＝2t，

∴DF＝AE＝2t，

∵DF∥AB，

∴四邊形ADEF是平行四邊形；

（3）在直角三角形AGB中，∠AGB＝90°，

∠GAB＝∠CBA＝30°，BG＝OC＝3

∴AB＝2BG＝6，

∵DF∥AB，

∴∠BEF＝∠DFE．

分兩種情況：

①當(dāng)∠BFE＝∠DEF時(shí)，則△BEF∽△DFE，此時(shí)DE∥BC，即四邊形DEBF是平行四邊形，

∴DF＝BE，而DF＝2t，BE＝6﹣2t，

∴2t＝6﹣2t，

解得t＝；

②當(dāng)∠BFE＝∠FDE時(shí)，則△BEF∽△EFD，

∴，

即EF2＝DF×BE，

∵四邊形ADEF是平行四邊形，即EF＝AD，

又AD2＝OD2+OA2，

∴（3﹣t）2+（）2＝2t×（6﹣2t），

解得t＝

綜上所述，t＝或t＝