【題目】已知是的一條弦,點(diǎn)在上,聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng),交弦于點(diǎn),且.
(1)如圖1,如果平分,求證:;
(2)如圖2,如果,求的值;
(3)延長(zhǎng)線段交弦于點(diǎn),如果是等腰三角形,且的半徑長(zhǎng)等于,求弦的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2)(3)和
【解析】
(1)由題意利用弦心距即可求證結(jié)果,
(2)此題關(guān)鍵先求出AO,做輔助線構(gòu)造特殊三角形,并求證出∠AOD,再根據(jù)平行線分線段成比例求出比值即可,
(3)分情況討論兩種情況:OE=BE時(shí)或OB=BE時(shí)兩種情況,利用三角形相似即△COE△CBO找到相似比,利用相似比求解即可.
(1)過點(diǎn)O作OP⊥AB,垂足為點(diǎn)P;OQ⊥BC,垂足為點(diǎn)Q,
∵BO平分∠ABC,
∴OP=OQ,
∵OP,OQ分別是弦AB、BC 的弦心距,
∴AB= BC;
(2)∵OA=OB,
∴∠A=∠OBD,
∵CD=CB,
∴∠CDB =∠CBD,
∴∠A+∠AOD =∠CBO +∠OBD,
∴∠AOD =∠CBO,
∵OC=OB,
∴∠C =∠CBO,
∴∠DOB =∠C +∠CBO = 2∠CBO = 2∠AOD,
∵AO⊥OB,
∴∠ AOB =∠AOD +∠BOD =3∠AOD = 90°,
∴∠AOD=30°,
過點(diǎn)D作DH⊥AO,垂足為點(diǎn)H,
∴∠AHD=∠DHO=90°,
∴tan∠AOD ==,
∵∠AHD=∠AOB=90°,
∴HD‖OB,
∴ ,
∵OA=OB,
∴HD=AH,
∵HD‖OB,
∴;
(3)∵∠C=∠CBO,
∴∠OEB =∠C+∠COE >∠CBO,
∴OE≠OB;
若OB = EB =2時(shí),
∵∠C=∠C,∠COE =∠AOD =∠CBO,
∴△COE△CBO,
∴,
∴,
∴-2BC -4=0,
∴BC = +1 (舍去)或BC =+1,
∴BC =+1;
若OE = EB時(shí),
∵∠EOB =∠CBO,
∵∠OEB =∠C+∠COE =2∠C =2∠CBO且∠OEB +∠CBO +∠EOB = 180°,
∴4∠CBO=180°,∠CBO=45°,
∴∠OEB=90°,
∴cos∠CBO=,
∵OB=2,
∴EB = ,
∵OE過圓心,OE⊥BC,
∴BC =2EB =2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與x軸,y軸,交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C是BO的中點(diǎn)且
(1)求直線AC的解析式;
(2)若點(diǎn)M是直線AC的一點(diǎn),當(dāng)時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(3,0).下列結(jié)論:①2a﹣b=0;②(a+c)2<b2;③當(dāng)﹣1<x<3時(shí),y<0;④當(dāng)a=1時(shí),將拋物線先向上平移2個(gè)單位,再向右平移1個(gè)單位,得到拋物線y=(x﹣2)2﹣2.其中正確的是( 。
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
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【題目】在△ABC中,AB=AC,CD是AB邊上的中線,點(diǎn)E在邊AC上(不與A,C重合),且BE=CD.設(shè)=k,若符合條件的點(diǎn)E有兩個(gè),則k的取值范圍是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果一個(gè)四邊形有且只有三個(gè)頂點(diǎn)在圓上,那么稱這個(gè)四邊形是該圓的“聯(lián)絡(luò)四邊形”,已知圓的半徑長(zhǎng)為,這個(gè)圓的一個(gè)聯(lián)絡(luò)四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形,那么這個(gè)菱形不在圓上的頂點(diǎn)與圓心的距離是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,⊙O經(jīng)過A、B兩點(diǎn),且交AC于點(diǎn)D,連接BD,∠DBC=∠BAC.
(1)證明BC與⊙O相切;
(2)若⊙O的半徑為6,∠BAC=30°,求圖中陰影部分的面積.
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【題目】如圖,在大樓AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,樓高AB=60米,在斜坡下的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為60°,在斜坡上的D處測(cè)得樓頂B的仰角為45°,其中點(diǎn)A,C,E在同一直線上.
(1)求坡底C點(diǎn)到大樓距離AC的值;
(2)求斜坡CD的長(zhǎng)度.
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【題目】如圖,在ABCD中,已知AD=10cm,tanB=2,AE⊥BC于點(diǎn)E,且AE=4cm,點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn).若△PAD為直角三角形,則BP的長(zhǎng)為_____
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在中,,,,點(diǎn)D,E分別是邊,的中點(diǎn),連接.將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)問題發(fā)現(xiàn)
①當(dāng)時(shí),;②當(dāng)時(shí),;
(2)拓展探究
試判斷:當(dāng)時(shí),的大小有無變化?請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明;
(3)問題解決
當(dāng)旋轉(zhuǎn)至時(shí),請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng).
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