Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣3，0），B（9，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P沿AC以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q沿BO以每秒2個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，過點(diǎn)Q作QD⊥x軸，與拋物線交于點(diǎn)D，連接PD與BC交于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）①直接寫出P，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示，結(jié)果需化簡）．

②在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)PQ＝PD時(shí)，求t的值；

（3）點(diǎn)M為線段BC上一點(diǎn)，在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)點(diǎn)E為PD中點(diǎn)時(shí)，是否存在點(diǎn)M使得PM+BM的值最�。咳舸嬖�，請(qǐng)求出PM+BM的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P ，D；

；（3）存在，故PM+BM的最小值為．

【解析】

（1）把A（﹣3，0），B（9，0）兩點(diǎn)，代入解析式即可

（2）先求出BC的解析式①把P,Q代入解析式即可解答

②當(dāng)PQ＝PD時(shí)，則DQ中點(diǎn)的縱坐標(biāo)＝點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，在代入解析式即可

（3）根據(jù)點(diǎn)E是PQ的中點(diǎn)，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，將其代入解析式②即可求出P，作點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P′，過點(diǎn)P′作P′H⊥x軸、BC于點(diǎn)H、M，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，再證明△P′MC≌△PNC（AAS），即可解答

解：（1）將A（﹣3，0），B（9，0）代入y＝ax2+bx+3，得：

，解得： ，

∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+ x+3①；

（2）由題意得：∠ACO＝∠OBC＝30°，∠ACB＝90°，

將點(diǎn)B、C（0，3）的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3②；

①點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3+t，t），

點(diǎn)Q（9﹣2t，0），將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入①式并整理得：點(diǎn)D[9﹣2t，（6t﹣t2）]；

②當(dāng)PQ＝PD時(shí)，則DQ中點(diǎn)的縱坐標(biāo)＝點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，

即： [（6t﹣t2）]＝t，

解得：t＝；

（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3+t，t）、點(diǎn)D[9﹣2t，（6t﹣t2）]，

點(diǎn)E是PQ的中點(diǎn)，則點(diǎn)E[3﹣t，t+（6t﹣t2）]，

將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入②式并整理得：t2﹣6t+9＝0，解得：t＝3，

即點(diǎn)P（﹣，）即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，

作點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P′，過點(diǎn)P′作P′H⊥x軸、BC于點(diǎn)H、M，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，

則MH＝MB，

則此時(shí)，PM+BM＝PM+MH＝P′H為最小值，

∵∠ACB＝90°，PC＝P′C，∠P′CM＝∠NCP，∠P′MC＝∠PNC＝90°，

∴△P′MC≌△PNC（AAS），∴MC＝NC＝OC，

OM＝OC＝ ＝P′H，

故PM+BM的最小值為．