【題目】已知直線y=x+3交x軸于點A,交y軸于點B,拋物線y=x2+bx+c經過點A,B.
(1)求拋物線解析式;
(2)點C(m,0)在線段OA上(點C不與A,O點重合),CD⊥OA交AB于點D,交拋物線于點E,若DE=AD,求m的值;
(3)點M在拋物線上,點N在拋物線的對稱軸上,在(2)的條件下,是否存在以點D,B,M,N為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x22x+3(2)-2(3)存在(1,2)或(1,0)
【解析】分析:(1)先求直線與軸和軸的交點坐標,利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式;
(2)根據(jù)點C的橫坐標為m可得D和E的橫坐標都是m,根據(jù)解析式表示其縱坐標,計算鉛直高度DE的長,利用勾股定理得: 最后根據(jù)已知列式可得m的值;
(3)分兩種情況:
①以BC為一邊,如圖1,證明≌,得可得
②當BD為對角線時,如圖2,M在拋物線的頂點,N是對稱軸與x軸的交點,此時
詳解:(1)當x=0時,y=3,
∴B(0,3),
當y=0時,x+3=0,
x=3,
∴A(3,0),
把A(3,0),B(0,3)代入拋物線中得:
解得:
∴拋物線的解析式為:
(2)∵CD⊥OA,C(m,0),
∴
∴
∵AC=m+3,CD=m+3,
由勾股定理得:
∵
∴
(m+3)(m+2)=0,
m1=3(舍),m2=2;
(3)存在,分兩種情況:
①以BC為一邊,如圖1,設對稱軸與x軸交于點G,
∵C(2,0),
∴D(2,1),E(2,3),
∴E與B關于對稱軸對稱,
∴BE∥x軸,
∵四邊形DNMB是平行四邊形,
∴BD=MN,BD∥MN,
∵
∴△EDB≌△GNM,
∴NG=ED=2,
∴N(1,2);
②當BD為對角線時,如圖2,
M在拋物線的頂點,N是對稱軸與x軸的交點,此時四邊形BMDN是平行四邊形,
此時N(1,0);
綜上所述,點N的坐標為(1,2)或(1,0).
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【題目】二次函數(shù)圖象的頂點在原點O,經過點A(1,);點F(0,1)在y軸上.直線y=﹣1與y軸交于點H.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點P是(1)中圖象上的點,過點P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點M.
求證:PFM為等腰三角形;
(3)作PQFM于點Q,當點P從橫坐標2013處運動到橫坐標2017處時,請求出點Q運動的路徑長.
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【題目】如圖,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分線交BC于點D,那么∠DAC的度數(shù)為( 。
A. 90° B. 80° C. 70° D. 60°
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【題目】小紅星期天從家里出發(fā)騎自行車去舅舅家,當她騎了一段路時,想起要買個禮物送給表弟,于是又折回到剛經過的一家商店,買好禮物后又繼續(xù)騎車去舅舅家,如圖是她本次去舅舅家所用的時間與路程的關系式示意圖.根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題:
(1)小紅家到舅舅家的路程是_______米,小紅在商店停留了_______分鐘;
(2)在整個去舅舅家的途中哪個時間段小紅騎車速度最快,最快的速度是多少米/分?
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【題目】如圖1,把一塊含的直角三角板的邊放置于長方形直尺的邊上.
(1)填空:______,_______;
(2)最短直角邊與的夾角.
①現(xiàn)把三角板如圖2擺放,且點恰好落在邊上時,求、的度數(shù)(寫出求解過程,結果用含的代數(shù)式表示);
②現(xiàn)把圖1中的三角板繞點逆時針轉動,當時,存在三角板某一邊所在的直線與直尺(有四條邊)某一邊所在的直線垂直.例如:當時,,;直接寫出其他所有的值和對應的那兩條垂線.
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【題目】某校舉行“漢字聽寫”比賽,每位學生聽寫漢字39個,比賽結束后隨機抽查部分學生的聽寫結果,以下是根據(jù)抽查結果繪制的統(tǒng)計圖的一部分
組別 | |||||
正確字數(shù) | |||||
人數(shù) | 10 | 15 | 25 |
根據(jù)以上信息解決下列問題:
(1)在統(tǒng)計表中, , ,并補全條形統(tǒng)計圖.
(2)扇形統(tǒng)計圖中“組”所對應的圓心角的度數(shù)是 .
(3)若該校共有900名學生,如果聽寫正確的個數(shù)少于24個定為不合格,請你估計這所學校本次比賽聽寫不合格的學生人數(shù)
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B的平分線交于點D,DE⊥BC于點E,DF⊥AC于點F.
⑴ 求證:四邊形CFDE是正方形; ⑵ 若AC=3,BC=4,求△ABC的內切圓半徑.
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【題目】完成下面的證明.
(1)如圖,AB∥CD,CB∥DE.求證:∠B+∠D=180°.
證明:∵AB∥CD,
∴∠B=( ① )( ② );
∵CB∥DE,
∴∠C+∠D=180°( ③ ).
∴∠B+∠D=180°.
(2)如圖,∠ABC=∠A′B′C′,BD,B′D′分別是∠ABC,∠A′B′C′的平分線.求證:∠1=∠2.
證明:∵BD, B′D′分別是∠ABC,∠A′B′C′的平分線,
∴∠1=∠ABC,∠2=( ④ )( ⑤ ).
又∠ABC=∠A′B′C′,
∴∠ABC=∠A′B′C′.
∴∠1=∠2( ⑥ ).
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