Question

【題目】在△ABC中，D是BC的中點，且AD＝AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點E，EC與AD相交于點F．

（1）求證：△ABC～△FCD；

（2）若△DEF的面積為2，求△FCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6

【解析】

（1）由線段垂直平分線的性質可得BE＝EC，進而可得∠ABC＝∠FCD，由等腰三角形的性質可得∠ACB＝∠FDC，問題即得解決；

（2）由相似三角形的性質可得AC＝2DF，S△ABC＝4S△FCD，進而可得AF＝DF，S△DEC＝S△AEC，再利用S△ABC與S△FCD的關系得出關于S△FCD的方程，即可求解．

解：（1）∵D是BC的中點，DE⊥BC，

∴BE＝EC，BD＝CD＝BC，

∴∠ABC＝∠FCD，

∵AD＝AC，

∴∠ACB＝∠FDC，

∴△ABC∽△FCD；

（2）∵△ABC∽△FCD，

∴，∴，

∴AC＝2DF，S△ABC＝4S△FCD，

∴AD＝2DF， ∴AF＝DF，

∴S△DEF＝S△AEF＝2，S△DFC＝S△AFC，

∴S△DEC＝S△AEC，

∵BD＝DC，

∴S△BDE＝S△CDE＝S△DFC+2，

∵S△ABC＝4S△FCD，

∴3（S△DFC+2）＝4S△FCD，

∴S△FCD＝6.