【題目】如圖,已知拋物線L:y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-3,0)、B(0,4)和F(4,0).
(1)求拋物線L的解析式;
(2)在圖①拋物線L上,求作點C(保留作圖痕跡,不寫作法),使∠BAC=∠FAC,并求出點C的坐標(biāo);
(3)在圖①中,若點D為拋物線上一動點,過點D作DH⊥x軸于點H,交直線AC于點G,過點C作CK⊥x軸于點K,連接DC,當(dāng)以點G,C,D為頂點的三角形與△ACK相似時,求點D的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)點C的坐標(biāo)(,);(3)點D的坐標(biāo)(,)或(,).
【解析】
(1)將點A(-3,0)、B(0,4)和F(4,0)的坐標(biāo)代入解析式中即可求出結(jié)論;
(2)根據(jù)題意,作出∠BAF的角平分線AC即可,然后過點B作BP∥AC交x軸于點P,過點C作CQ⊥x軸于點Q,設(shè)點C的坐標(biāo)為(t,),證出,列出比例式即可求出t,從而求出點C的坐標(biāo);
(3)根據(jù)相似三角形的對應(yīng)情況分類討論,分別畫出對應(yīng)的圖形,然后根據(jù)拋物線的對稱性、相似三角形的判定及性質(zhì)和聯(lián)立方程求交點坐標(biāo),即可分別求出結(jié)論.
解:(1)將點A(-3,0)、B(0,4)和F(4,0)的坐標(biāo)代入拋物線L的解析式中,得
解得:
∴拋物線L的解析式為;
(2)以A為圓心,任意長度為半徑作弧,分別交AB、AF于M、N;然后分別以M、N為圓心,大于的長為半徑作弧,兩弧交于點E,作射線AE,交y軸于點P,交拋物線于點C,易知此時AC平分∠BAF,即∠BAC=∠FAC,如下圖所示,點C即為所求.
過點B作BP∥AC交x軸于點P,過點C作CQ⊥x軸于點Q
∵點A(-3,0)、B(0,4),∠BOA=90°
∴AO=3,BO=4,
根據(jù)勾股定理可得AB=
∵BP∥AC,AC平分∠BAF
∴∠BPO=∠CAQ,∠BAO=2∠CAQ
∴∠BAO=2∠BPO
∵∠BAO=∠BPO+∠ABP
∴∠BPO=∠ABP
∴AP=AB=5
∴PO=AP+AO=8
設(shè)點C的坐標(biāo)為(t,),由圖可知:t>0
∴OQ=t,CQ=
∴AQ=t+3
∵∠CQA=∠BOP=90°,∠CAQ =∠BPO
∴
∴
即
解得:(不符合t的取值范圍,舍去)
∴點C的縱坐標(biāo)為=
∴點C的坐標(biāo)為(,);
(3)①當(dāng)時,如下圖所示
∴∠DCG=∠KAC,∠CDG=∠AKC=90°
∴CD∥x軸
此時點C、D關(guān)于拋物線L的對稱軸對稱,對稱軸為直線x==
∵點C的坐標(biāo)為(,)
∴此時點D的坐標(biāo)為(,);
②當(dāng)時,如下圖所示
∴∠DCG=∠AKC=90°
∴DC⊥AC
設(shè)CD與x軸交于點M
由(2)知:點C的坐標(biāo)為(,),AK=,CK=
∵∠AKC=∠CKM=∠ACM=90°
∴∠CAK+∠ACK=90°,∠MCK+∠ACK=90°
∴∠CAK=∠MCK
∴
∴
∴
解得:MK=
∴OM=
∴點M的坐標(biāo)為(,0)
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+d
將點C和點M的坐標(biāo)代入,得
解得:
∴直線CD的解析式為
聯(lián)立
解得:或
其中點C的坐標(biāo)為(,)
∴點D的坐標(biāo)為(,);
③∵∠DGC一定不等于90°
∴不存在點D,使或;
當(dāng)以點G,C,D為頂點的三角形與相似時,點D的坐標(biāo)為(,)或(,).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=﹣x2+6x﹣5的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,其頂點為P,連接PA、AC、CP,過點C作y軸的垂線l.
(1)P的坐標(biāo) ,C的坐標(biāo) ;
(2)直線1上是否存在點Q,使△PBQ的面積等于△PAC面積的2倍?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于點D,DE⊥AB,垂足為E。若DE=1,則BC的長為( )
A.2+B.C.D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與這個二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點C,設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點為D.
(1)求點C的坐標(biāo);
(2)若點D與點C關(guān)于x軸對稱,且△ACD的面積等于3,求此二次函數(shù)的解析式;
(3)若,且△ACD的面積等于10,請直接寫出滿足條件的點D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】九年級某班準(zhǔn)備選拔四名男生參加學(xué)校運動會接力比賽,進行了一次50米短跑測驗,成績?nèi)缦拢?/span>(單位:秒)6.9 7.0 7.1 7.2 7.0 7.4 7.3 7.5 7.0 7.4 7.3 6.8 7.0 7.1 7.3 6.9 7.1 7.2 7.4 6.9 7.0 7.2 7.0 7.2 7.6
班主任老師按0.2秒的組距分段,統(tǒng)計每個成績段出現(xiàn)的頻數(shù),填入頻數(shù)分布表,并繪制了頻數(shù)分布直方圖.
成績段(秒) | |||||
頻數(shù) | 4 | 9 | 7 | 1 | |
頻率 | 0.36 | 0.28 | 0.16 | 0.04 |
(1)求a、b值,并將頻數(shù)分布直方圖補充完整;
(2)請計算這次短跑測驗的優(yōu)秀率(7.0秒及7.0秒以下);
(3)成績前四名的A、B、C、D同學(xué)組成九年級某班4×100米接力隊,其中成績最好的A同學(xué)安排在最后一棒(第4棒),另外三位同學(xué)隨機編排在其余三個棒次,畫樹狀圖或列表說明B、C兩位同學(xué)為相鄰棒次的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,E是AB的中點,AD//EC,∠AED=∠B.
(1)求證:△AED≌△EBC;
(2)當(dāng)AB=6時,求CD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx﹣3(a≠0)與x軸交于點A(﹣2,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P從A點出發(fā),在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動,同時點Q從B點出發(fā),在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動,其中一個點到達終點時,另一個點也停止運動,當(dāng)PBQ存在時,求運動多少秒時,PBQ的面積最大?最大面積是多少?
(3)在運動過程中,是否存在某一時刻t,使以P,B,Q為頂點的三角形為直角三角形?若存在,求出t值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(閱讀理解)
用的矩形瓷磚,可拼得一些長度不同但寬度均為的矩形圖案.
已知長度為的所有圖案如下:
(嘗試操作)
在所給方格中(假設(shè)圖中最小方格的邊長為),嘗試畫出所有用的“矩形瓷磚”拼得的“長度是,但寬度均為”的矩形圖案示意圖.
(歸納發(fā)現(xiàn))
觀察以上結(jié)果,探究圖案個數(shù)與圖案長度之間的關(guān)系,將下表補充完整.
(規(guī)律概括)
描述一下你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,,對稱軸為直線,則下列結(jié)論:①;②;③;④是關(guān)于x的一元二次方程的一個根,其中正確的有_________個
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