【題目】中,于點

1)如圖1,若的角平分線交于點,,求的度數(shù);

2)如圖2,點分別在線段上,將折疊,點落在點處,點落在點處,折痕分別為,且點,點均在直線上,若,試猜想之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;

3)在(2)小題的條件下,將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度),記旋轉(zhuǎn)中的(如圖3),在旋轉(zhuǎn)過程中,直線與直線交于點,直線與直線交于點,若,是否存在這樣的兩點,使為直角三角形?若存在,請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù);若不存在,請說明理由.

【答案】1∠C=56°;(2)∠AMF=ANG.證明見解析;(3)滿足條件的旋轉(zhuǎn)角為28°56°208°236°.

【解析】

(1)利用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題;
2)結(jié)論:∠AMF=ANG.由翻折可知:∠B=F,∠C=DGN,由∠B+C=90°,推出∠BAC=90°,∠F+DGN=90°,推出∠BAD+CAD=90°,由∠BAD=F+AMF,∠CAD=DGN-ANG,推出∠F+AMF+DGN-ANG=90°,可得∠AMF=ANG;
3)分兩種情形①當∠PQB=90°時;②當∠BPQ=90°時.分別求解即可解決問題.

解:(1)如圖1中,

ADBC,
∴∠ADB=ADC=90°
RtAED中,∵∠EAD=7°,
∴∠AED=83°,
∵∠AED=B+BAE,∠B=42°,
∴∠BAE=CAE=41°,
∴∠BAC=82°,
∴∠C=180°-42°-82°=56°

2)結(jié)論:∠AMF=ANG
理由:如圖2中,

由翻折可知:∠B=F,∠C=DGN
∵∠B+C=90°,
∴∠BAC=90°,∠F+DGN=90°
∴∠BAD+CAD=90°,
∵∠BAD=F+AMF,∠CAD=DGN-ANG,
∴∠F+AMF+DGN-ANG=90°
∴∠AMF=ANG

3)①如圖3-1當∠PQB=90°時,

∵∠B=F′=28°


∴∠F′DQ=90°-28°=62°,
∵∠FDB=90°,
∴∠FDF′=90°-62°=28°
∴旋轉(zhuǎn)角為28°
②如圖3-2,當∠BPQ=90°時,

∵∠B=F′=28°,
∴∠PQB=90°-28°=62°,
∵∠PQB=F′+F′DB,
∴∠F′DB=62°-28°=34°,
∴∠FDF′=90°-34°=56°,
∴旋轉(zhuǎn)角為56°,
同法可得當旋轉(zhuǎn)角為208°236°時,也滿足條件,
綜上所述,滿足條件的旋轉(zhuǎn)角為28°56°208°236°

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下面的圖形是傳說中畢達哥拉斯的證明圖形:

證明:①在圖1中,∵

4個直角三角形的面積+兩個正方形的面積

=4× + + .

②在圖2中,∵

4個直角三角形的面積+正方形的面積

=4× + .

+ + =4× + .

整理得:

.

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