Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．

（1）求拋物線的對(duì)稱軸及線段AB的長；

（2）拋物線的頂點(diǎn)為P，若∠APB=120°，求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)及a的值；

（3）若在拋物線上存在一點(diǎn)N，使得∠ANB=90°，結(jié)合圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) x=﹣1 , AB=4 ;(2) 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣ ）．a(chǎn)= ; (3) a≥ .

【解析】(1)、根據(jù)題意求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得出對(duì)稱軸；(2)、設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，根據(jù)題意得出AH和PH的長度，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將其代入函數(shù)解析式得出a的值；(3)、以AB為直徑作⊙H， 當(dāng)∠ANB=90°， 點(diǎn)N在⊙H上，將x=－1代入y=－4a得出HP的長度，根據(jù)題意得出a的取值范圍．

(1)、解：令y=0得：ax2+2ax﹣3a=0，即a（x+3）（x﹣1）=0，解得：x=﹣3或x=1，

∴A（﹣3，0）、B（1，0）， ∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，AB=4；

(2)、解：如圖1所示：設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，

∵∠APB=120°，AB=4，PH在對(duì)稱軸上， ∴AH=2，∠APB=60°， ∴PH= ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣ ），將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得：﹣ =﹣4a，解得a= ；

(3)、解：如圖2所示：以AB為直徑作⊙H， ∵當(dāng)∠ANB=90°， ∴點(diǎn)N在⊙H上，

∵點(diǎn)N在拋物線上， ∴點(diǎn)N為拋物線與⊙H的交點(diǎn)， ∴點(diǎn)P在圓上或點(diǎn)P在圓外，

∴HP≥2， ∵將x=﹣1代入得：y=﹣4a， ∴HP=4a， ∴4a≥2，解得a≥ ，

∴a的取值范圍是a≥ ．