Question

【題目】已知∠AOB=α（90°＜α＜180°），∠COD在∠AOB的內(nèi)部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）若∠COD=180°﹣α?xí)r，探索下面兩個(gè)問(wèn)題： ①如圖1，當(dāng)OC在OD左側(cè)，求∠MON的度數(shù)；
②當(dāng)OC在OD右側(cè)，請(qǐng)?jiān)趫D2內(nèi)補(bǔ)全圖形，并求出∠MON的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；
（2）如圖3，當(dāng)∠COD=kα，且OC在OD左側(cè)時(shí)，直接寫出∠MON的度數(shù)（用含α、k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：①如圖1，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，

∴∠AOM+∠BON= （∠AOC+∠BOD），

∵∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，

∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°，

∴∠AOM+∠BON= （2α﹣180°）=α﹣90°，

∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣（α﹣90°）=90°

②當(dāng)OC在OD右側(cè)，補(bǔ)全圖形如圖2所畫，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，

∵∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，

∴∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD=α+（180°﹣α）=180°，

∴∠AOM+∠BON= ×180°=90°，

∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣90°

（2）解：∠MON的度數(shù)為 （1+k）α．

理由：如圖3，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，

∴∠AOM+∠BON= （∠AOC+∠BOD），

∵∠AOB=α，∠COD=kα，

∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣kα，

∴∠AOM+∠BON= （α﹣kα）= α（1﹣k），

∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣ α（1﹣k）= （1+k）α

【解析】（1）①根據(jù)角平分線的定義，得出∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，再根據(jù)∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，得出∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°，進(jìn)而得出∠AOM+∠BON= （2α﹣180°）=α﹣90°，最后根據(jù)∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）進(jìn)行計(jì)算即可；②根據(jù)①中的方法進(jìn)行計(jì)算，即可得出∠MON的度數(shù)；（2）先根據(jù)角平分線的定義，得出∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，再根據(jù)∠AOB=α，∠COD=kα，得出∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣kα，進(jìn)而得到∠AOM+∠BON= （α﹣kα）= α（1﹣k），最后根據(jù)∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）進(jìn)行計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解角的平分線的相關(guān)知識(shí)，掌握從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線，以及對(duì)角的運(yùn)算的理解，了解角之間可以進(jìn)行加減運(yùn)算；一個(gè)角可以用其他角的和或差來(lái)表示．