Question

【題目】在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α，其中0°＜α＜90°得△A1BC1 ， A1B交AC與點E，A1C1分別交AC、BC于D、F兩點．
（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，線段EA1與FC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)α=30°時，試判斷四邊形BC1DA的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：EA1=FC．理由如下：

∵AB=BC，∠ABC=120°，

∴∠A=∠C=30°，

∵△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α，其中0°＜α＜90°得△A1BC1，

∴∠ABE=∠FBC1=α，∠C1=∠C=30°，BC1=BC，BA=BA1，

∴BA=BC1，

在△BAE和△BC1F中

，

∴△BAE≌△BC1F，

∴BE=BF，

∵BA1=BC=BA，

∴EA1=FC

（2）解：四邊形BC1DA為菱形．理由如下：

∵α=30°，

∴∠ABA1=∠CBC1=30°，

而∠A1=∠C=30°，

∴∠ABA1=∠A1，∠CBC1=∠C，

∴AB∥A1C1，BC1∥AC，

∴四邊形BC1DA為平行四邊形，

∵BA=BC1，

∴四邊形BC1DA為菱形

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠A=∠C=30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到∠ABE=∠FBC1=α，∠C1=∠C=30°，BC1=BC，BA=BA1 ， 則BA=BC1 ， 根據(jù)三角形判定方法易得△BAE≌△BC1F，得到BE=BF，又BA1=BC=BA，即可得到EA1=FC；（2）當(dāng)α=30°時，∠ABA1=∠CBC1=30°，而∠A1=∠C=30°，則∠ABA1=∠A1 ， ∠CBC1=∠C，根據(jù)平行線的判定方法得到AB∥A1C1 ， BC1∥AC，得到四邊形BC1DA為平行四邊形，由BA=BC1 ， 根據(jù)菱形的判定方法即可得到四邊形BC1DA為菱形．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了．