Question

【題目】如圖，點P在以AB為直徑的半圓內(nèi)，連接AP、BP，并延長分別交半圓于點C、D，連接AD、BC并延長交于點F，作直線PF，下列說法一定正確的是（ ） ①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．

A.①③
B.①④
C.②④
D.③④

Answer 1

【答案】D
【解析】證明：①∵AB為直徑， ∴∠ACB=90°，
∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，
故①錯誤，
②如圖1，連結(jié)CD，

∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDF=90°，
假設(shè)AC平分∠BAF成立，則有DC=BC，
∴在RT△FDB中，DC=BC=FC，
∴AC⊥BF，且平分BF，
∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，與①中的AC垂直BF，但不能得出AC平分BF相矛盾，
故②錯誤，
③如圖2：

∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∴D、P、C、F四點共圓，
∴∠CFP和∠CDB都對應(yīng) ，
∴∠CFP=∠CDB，
∵∠CDB=∠CAB，
∴∠CFP=∠CAB，
又∵∠FPC=∠APM，
∴△AMP∽△FCP，
∠ACF=90°，
∴∠AMP=90°，
∴FP⊥AB，
故③正確，
④∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AF．
故④正確，
綜上所述只有③④正確．
故選：D．
【考點精析】本題主要考查了圓周角定理的相關(guān)知識點，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．