【題目】如圖,已知拋物線與軸分別交于原點(diǎn)和點(diǎn),與對(duì)稱軸交于點(diǎn).矩形的邊在軸正半軸上,且,邊,與拋物線分別交于點(diǎn),.當(dāng)矩形沿軸正方向平移,點(diǎn),位于對(duì)稱軸的同側(cè)時(shí),連接,此時(shí),四邊形的面積記為;點(diǎn),位于對(duì)稱軸的兩側(cè)時(shí),連接,,此時(shí)五邊形的面積記為.將點(diǎn)與點(diǎn)重合的位置作為矩形平移的起點(diǎn),設(shè)矩形平移的長(zhǎng)度為.
(1)求出這條拋物線的表達(dá)式;
(2)當(dāng)時(shí),求的值;
(3)當(dāng)矩形沿著軸的正方向平移時(shí),求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求出為何值時(shí),有最大值,最大值是多少?
【答案】(1)y=-x2+2x.(2).(3)S=-t2+t-,當(dāng)t=時(shí),S有最大值,最大值是.
【解析】分析: (1)根據(jù)點(diǎn)E、F的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式;
(2)找出當(dāng)t=0時(shí),點(diǎn)B、N的坐標(biāo),進(jìn)而可得出OB、BN的長(zhǎng)度,再根據(jù)三角形的面積公式可求出S△OBN的值;
(3)分0<t≤4和4<t≤5兩種情況考慮:①當(dāng)0<t≤4時(shí)(圖1),找出點(diǎn)A、B、M、N的坐標(biāo),進(jìn)而可得出AM、BN的長(zhǎng)度,利用梯形的面積公式即可找出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值;②當(dāng)4<t≤5時(shí),找出點(diǎn)A、B、M、N的坐標(biāo),進(jìn)而可得出AM、BN的長(zhǎng)度,將五邊形分成兩個(gè)梯形,利用梯形的面積公式即可找出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值.將①②中的S的最大值進(jìn)行比較,即可得出結(jié)論.
詳解:
(1)將E(5,5)、F(10,0)代入y=ax2+bx,
,解得:,
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x.
(2)當(dāng)t=0時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,),
∴BN=,OB=1,
∴S△OBN=BNOB=.
(3)①當(dāng)0<t≤4時(shí)(圖1),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(t,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(t+1,0),
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t,-t2+2t),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(t+1,-(t+1)2+2(t+1)),
∴AM=-t2+2t,BN=-(t+1)2+2(t+1),
∴S=(AM+BN)AB=×1×[-t2+2t-(t+1)2+2(t+1)],
=-t2+t+,
=-(t-)2+,
∵-<0,
∴當(dāng)t=4時(shí),S取最大值,最大值為;
②當(dāng)4<t≤5時(shí)(圖2),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(t,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(t+1,0),
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t,-t2+2t),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(t+1,-(t+1)2+2(t+1)),
∴AM=-t2+2t,BN=-(t+1)2+2(t+1),
∴S=(5-t)(-t2+2t+5)+(t-4)[5-(t+1)2+2(t+1)],
=(t3-3t2+5t+25)+(-t3+t2+t-),
=-t2+t-,
=-(t-)2+,
∵-<0,
∴當(dāng)t=時(shí),S取最大值,最大值為.
∵=<,
∴當(dāng)t=時(shí),S有最大值,最大值是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1是個(gè)三角形,分別連接這個(gè)三角形三邊中點(diǎn)得到圖2,再分別連接圖2中間小三角形三邊的中點(diǎn)得到圖3.
圖1中有_ __個(gè)三角形,圖2中有 __個(gè)三角形,圖3 中有 __個(gè)三角形;
按上面的方法繼續(xù)下去,第個(gè)圖形有________個(gè)三角形;(用含的式子表示)
當(dāng)時(shí),圖形中有多少個(gè)三角形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某自行車廠一周計(jì)劃生產(chǎn)輛,自行車廠平均每天生產(chǎn)自行車輛,由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計(jì)劃每天生產(chǎn)量相比有出入,下表是某周的自行車生產(chǎn)情況(超計(jì)劃生產(chǎn)量為正、不足計(jì)劃生產(chǎn)量為負(fù),單位:輛)
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
增將 |
根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn)自行車 輛;
產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn) 輛;
若該廠實(shí)行按生產(chǎn)的自行車數(shù)量的多少計(jì)工資(即計(jì)件工資制).如果每生產(chǎn)一輛自行車可得人民幣元,那么該廠工人這一周的工資總額是多少元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】知識(shí)準(zhǔn)備:數(shù)軸上兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為.則兩點(diǎn)之間的距離表示為:
問題探究:數(shù)軸上兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為且滿足
直接寫出:___、
在數(shù)軸上有一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為,請(qǐng)問:當(dāng)點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離和為時(shí),滿足什么條件?請(qǐng)利用數(shù)軸進(jìn)行說明(此時(shí)最小).
拓展:當(dāng)數(shù)軸上三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為在數(shù)軸上有一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為,當(dāng)滿足什么條件時(shí),的值最小?
應(yīng)用:國(guó)慶期間漢口江灘武漢關(guān)至長(zhǎng)江二橋之間是觀看“70周年國(guó)慶燈光秀”的理想?yún)^(qū)域,武漢關(guān)與長(zhǎng)江二橋相距約公里。在國(guó)慶期間,為了服務(wù)廣大市民,漢口江灘管理處在漢口江灘武漢關(guān)至長(zhǎng)江二橋之間每隔公里安排了便民服務(wù)小組(武漢關(guān)與長(zhǎng)江二橋不安排) ,還需要設(shè)置一個(gè)便民服務(wù)物資站,請(qǐng)問便民服務(wù)物資站應(yīng)該設(shè)置在什么地方,使它到各個(gè)便民服務(wù)小組的距離和最小,最小值是多少公里?便民服務(wù)物資站位置代表的數(shù)記作利用下圖直接給出結(jié)果:滿足的條件: 最小值為 公里.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E,作ED⊥EB交AB于點(diǎn)D,⊙O是△BED的外接圓.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)已知⊙O的半徑為2.5,BE=4,求BC,AD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的面積為12,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P使PE+PD的和最小,這個(gè)最小值為( )
A. B. C. 3 D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形OABC頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,3),定點(diǎn)D的坐標(biāo)為(12,0),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā).以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CB勻速運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸的負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng),P,Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng),當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,
(1)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形OCPQ為矩形?
(2)當(dāng)t為何值時(shí),以C,P,Q,A為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?
(3)E點(diǎn)坐標(biāo)(5,0),當(dāng)△OEP為等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料
在數(shù)學(xué)課上,老師提出如下問題:
己知:已知:Rt△ABC,∠ABC=90°.
求作:矩形ABCD.
小敏的作法如下:
①以A為圓心,BC長(zhǎng)為半徑作弧,以C為圓心,AB長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)D;
②連接DA、DC;所以四邊形ABCD為所求矩形.
老師說:“小敏的作法正確.”
請(qǐng)回答:小敏的作法正確的理由是____________________.
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