【題目】如圖,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點A(﹣1,0),B(2,0),與y軸相交于點C.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)若點E是第一象限的拋物線上的一個動點,當(dāng)四邊形ABEC的面積最大時,求點E的坐標(biāo),并求出四邊形ABEC的最大面積;
(3)若點M在拋物線上,且在y軸的右側(cè).⊙M與y軸相切,切點為D.以C,D,M為頂點的三角形與△AOC相似,請直接寫出點M的坐標(biāo).
【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+2;(2)點E的坐標(biāo)為(1,2),且四邊形ABEC的最大面積為4;(3)點M的坐標(biāo)為(, ),(, ),(3,-4) .
【解析】試題分析:(1)把A、B的坐標(biāo)代入即可得到答案;
(2)設(shè) E(a,b),先表示出四邊形ABEC的面積S,再配方即可;
(3)分兩種情況討論, ,或.
試題解析:(1)∵ 二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A(﹣1,0),B(2,0),
∴,解得: ,∴ 二次函數(shù)的解析式為;
(2)如圖1.
∵二次函數(shù)的解析式為與y軸相交于點C,∴ C(0,2),設(shè) E(a,b),且a >0,b >0,∵ A(-1,0),B(2,0),∴ OA=1,OB=2,OC=2,則S四邊形ABEC= = ,∵ 點 E(a,b)是第一象限的拋物線上的一個動點,∴,∴,∴ 當(dāng)四邊形ABEC的面積最大時,點E的坐標(biāo)為(1,4),且四邊形ABEC的最大面積為4;
(3)如圖2.
設(shè)M(m,n),且m>0,∵ 點M在二次函數(shù)的圖象上,∴,∵ ⊙M與y軸相切,切點為D,∴ ∠MDC =90°,∵ 以C,D,M為頂點的三角形與△AOC相似,∴,或,
①當(dāng)n >2時, ,解得 m1=0(舍去),m2=, 或m3=0(舍去),m4=-1(舍去);
②同理可得,當(dāng)n<2時,m1=0(舍去) ,m2=,或m3=0(舍去),m4=3;
綜上,滿足條件的點M的坐標(biāo)為(, ),(, ),(3,-4).
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【題目】如圖所示,AD是△ABC的中線,AE⊥AB,AF⊥AC,且AE=AB,AF=AC,AD=3,AB=4.
(1)求AC長度的取值范圍;
(2)求EF的長度.
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【題目】請你畫出一個以BC為底邊的等腰ΔABC,使底邊上的高AD=BC.
(1)求tanB和 sinB的值;
(2)在你所畫的等腰ΔABC中設(shè)底邊BC=5米,求腰上的高BE.
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【題目】用4個長7厘米、寬2厘米的長方形拼成一個大長方形(如圖,左下角和右上角重疊),大長方形的周長是多少厘米?圖中陰影部分的面積是多少平方厘米?
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【題目】如圖,A、D在反比例函數(shù)的圖像上,點B、C在反比例函數(shù)的圖像上,若AB∥CD∥軸,∥軸,且,,,則=______.
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【題目】小明用12元買軟面筆記本,小麗用21元買硬面筆記本.
(1)已知每本硬面筆記本比軟面筆記本貴1.2元,小明和小麗能買到相同數(shù)量的筆記本嗎?
(2)已知每本硬面筆記本比軟面筆記本貴a元,是否存在正整數(shù)a,使得每本硬面筆記本、軟面筆記本的價格都是正整數(shù),并且小明和小麗能買到相同數(shù)量的筆記本?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】某體育用品商場預(yù)測某品牌運動服能夠暢銷,就用32000元購進了一批這種運動服,上市后很快脫銷,商場又用68000元購進第二批這種運動服,所購數(shù)量是第一批購進數(shù)量的2倍,但每套進價多了10元.
(1)該商場兩次共購進這種運動服多少套?
(2)如果這兩批運動服每套的售價相同,且全部售完后總利潤不低于20%,那么每套售價至少是多少元?
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【題目】如圖所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF為正三角形,點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動,且E、F不與B、C、D重合.
(1)證明不論E、F在BC.CD上如何滑動,總有BE=CF;
(2)當(dāng)點E、F在BC.CD上滑動時,分別探討四邊形AECF的面積和△CEF的周長是否發(fā)生變化?如果不變,求出這個定值;如果變化,求出最小值.
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