【題目】我們知道平行四邊形有很多性質(zhì),現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折,會發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論.
(發(fā)現(xiàn)結(jié)論)
(1)如圖,在□ABCD中,AB≠BC,將△ABC沿AC翻折至△AB′C,連結(jié)B′D,發(fā)現(xiàn)兩個有趣的結(jié)論:①△EAC是等腰三角形 ②AC//B′D 請你選擇其中一個結(jié)論加以證明
(結(jié)論運(yùn)用)
(2)在□ABCD中,已知:BC=2,∠B=60°,將△ABC沿AC翻折至△AB′C,連結(jié)B′D(如上圖).若四邊形ACDB′是矩形,求AC的長.
(方法拓展)
(3)若 =k,且以A、C、D、B′為頂點的四邊形為正方形,則k的值為 .
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)k的值為1或.
【解析】
(1)①由平行四邊形的性質(zhì)得出∠EAC=∠ACB,由翻折的性質(zhì)得出∠ACB=∠ACB′,證出∠EAC=∠ACB′,得出AE=CE即可;②同①證明AE=CE,然后求出DE=B′E,證出∠CB′D=∠B′DA,由∠AEC=∠B′ED,得出∠ACB′=∠CB′D,即可得出AC//B′D;
(2)由矩形的性質(zhì)可得∠BAC=90°,然后利用含30°直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可;
(3)分兩種情況討論,分別作出圖形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可.
解:(1)選結(jié)論①,
證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠EAC=∠ACB,
由翻折的性質(zhì)得:∠ACB=∠ACB′,BC=B′C,
∴∠EAC=∠ACB′,
∴AE=CE,即△ACE是等腰三角形;
選結(jié)論②,
證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠EAC=∠ACB,
由翻折的性質(zhì)得:∠ACB=∠ACB′,BC=B′C,
∴∠EAC=∠ACB′,
∴AE=CE,
∴DE=B′E,
∴∠CB′D=∠B′DA,
∵∠AEC=∠B′ED,
∴∠ACB′=∠CB′D,
∴AC//B′D;
(2)如圖1所示:
∵四邊形ACDB′是矩形,
∴∠CAB′=90°,
∴∠BAC=90°,
∵∠B=60°,BC=2,
∴AB=1,
∴;
(3)分兩種情況:
①如圖2所示,
∵四邊形ACDB′是正方形,
∴AB′=AC,
∵AB′=AB,
∴AB=AC,即;
②如圖3所示,
∵四邊形ACB′D是正方形,
∴∠AB′B=45°,∠ACB′=90°,
∵AB′=AB,
∴∠B=45°,∠ACB=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴,
綜上所述,k的值為1或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,點A的坐標(biāo)為(﹣1,0),且OC=OB,tan∠OAC=4.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點D和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,直線AD下方的拋物線上有一點P,過點P作PH⊥AD于點H,作PM平行于y軸交直線AD于點M,交x軸于點E,求△PHM的周長的最大值.
(3)在(2)的條件下,如圖2,在直線EP的右側(cè)、x軸下方的拋物線上是否存在點N,過點N作NG⊥x軸交x軸于點G,使得以點E、N、G為頂點的三角形與△AOC相似?如果存在,請直接寫出點G的坐標(biāo):如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分如圖所示.已知它的頂點M在第二象限,且經(jīng)過點A(1,0)和點B(0,l).若此二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為C.
(1)試求a,b所滿足的關(guān)系式;
(2)當(dāng)△AMC的面積為△ABC面積的倍時,求a的值;
(3)是否存在實數(shù)a,使得△ABC為直角三角形.若存在,請求出a的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=2,將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,線段BD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BF,連接BF,則圖中陰影部分的面積是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2011山東濟(jì)南,27,9分)如圖,矩形OABC中,點O為原點,點A的坐標(biāo)為(0,8),點C的坐標(biāo)為(6,0).拋物線經(jīng)過A、C兩點,與AB邊交于點D.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點P為線段BC上一個動點(不與點C重合),點Q為線段AC上一個動點,AQ=CP,連接PQ,設(shè)CP=m,△CPQ的面積為S.
①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式,并求出m為何值時,S取得最大值;
②當(dāng)S最大時,在拋物線的對稱軸l上若存在點F,使△FDQ為直角三角形,請直接寫出所有符合條件的F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,,按如下步驟作圖:
(1)分別以、為圓心,以大于的長為半徑在兩邊作弧,交于兩點、;
(2)經(jīng)過、作直線,分別交、于點、;
(3)過點作交于點,連接、.
則下列結(jié)論:①、垂直平分;②;③平分;④四邊形是菱形;⑤四邊形是菱形.其中一定正確的是______(填序號).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形的對角線與相交于點,點為的中點,連接并延長交的延長線于點,連接.
(1)求證:;
(2)當(dāng),時,請判斷四邊形的形狀,并證明你的結(jié)論.
(3)當(dāng)四邊形是正方形時,請判斷的形狀,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形ABCD的頂點A、D分別落在x軸、y軸,OD=2OA=6,AD:AB=3:1.則點B的坐標(biāo)是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,OP平分∠BOA,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是C、D,則下列結(jié)論中錯誤的是( 。
A. PC=PD B. OC=OD C. OC=OP D. ∠CPO=∠DPO
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