Question

【題目】如圖.在平行四邊形紙片ABCD中，AC⊥AB，AC與BD相交于點O，將△ABC沿對角線AC折疊得到△AB'C.

(1)求證：以A、C、D、B'為頂點的四邊形是矩形

(2)若四邊形ABCD的面積S=12cm，求陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）陰影部分的面積是3.

【解析】

（1）連接B'D，由平行四邊形的性質(zhì)及折疊性質(zhì)可得AB'=CD，∠BAC=∠B'AC，由AC⊥AB可證明B、A、B'共線，可得AB′//CD，可證明四邊形ACDB'為平行四邊形，根據(jù)有一個角是90°的平行四邊形是矩形即可證明以A、C、D、B'為頂點的四邊形是矩形；（2）設(shè)B'C與AD交于點E，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AE=DE，由平行四邊形的性質(zhì)可得S△ACD=S平行四邊形ABCD，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可得S△AEC=S△ACD，即可求出陰影部分面積.

(1)連接B'D.

∵在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，△ABC沿對角線AC折疊，

∴AB'=CD，∠BAC=∠B'AC.

又∵AC⊥AB，

∴∠BAC=∠B'AC=90°，

∴B、A、B'在一條直線上，

∴AB'∥CD，

∴四邊形ACDB'為平行四邊形，

∵∠B'AC=90°，

∴以A、C、D、B'為頂點的四邊形是矩形.

(2)設(shè)B'C與AD交于點E.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，S平行四邊形ABCD=12cm，

∴S△ACD=S平行四邊形ABCD=×12=6，

∵四邊形ACDB'為矩形，

∴AE=DE，

∴S△AEC=S△ACD=×6=3，即陰影部分的面積是3.