【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=a(x+1)2﹣3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣ ),頂點(diǎn)為D,對稱軸與x軸交于點(diǎn)H,過點(diǎn)H的直線l交拋物線于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)Q在y軸的右側(cè).
(1)求a的值及點(diǎn)A,B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)直線l將四邊形ABCD分為面積比為3:7的兩部分時,求直線l的函數(shù)表達(dá)式;
(3)當(dāng)點(diǎn)P位于第二象限時,設(shè)PQ的中點(diǎn)為M,點(diǎn)N在拋物線上,則以DP為對角線的四邊形DMPN能否為菱形?若能,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣ ).
∴a﹣3=﹣ ,解得:a= ,
∴y= (x+1)2﹣3
當(dāng)y=0時,有 (x+1)2﹣3=0,
∴x1=2,x2=﹣4,
∴A(﹣4,0),B(2,0)
(2)
解:∵A(﹣4,0),B(2,0),C(0,﹣ ),D(﹣1,﹣3)
∴S四邊形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC= ×3×3+ ( +3)×1+ ×2× =10.
從面積分析知,直線l只能與邊AD或BC相交,所以有兩種情況:
①當(dāng)直線l邊AD相交與點(diǎn)M1時,則 = ×10=3,
∴ ×3×(﹣ )=3
∴ =﹣2,點(diǎn)M1(﹣2,﹣2),過點(diǎn)H(﹣1,0)和M1(﹣2,﹣2)的直線l的解析式為y=2x+2.
②當(dāng)直線l邊BC相交與點(diǎn)M2時,同理可得點(diǎn)M2( ,﹣2),過點(diǎn)H(﹣1,0)和M2( ,﹣2)的直線l的解析式為y=﹣ x﹣ .
綜上所述:直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+2或y=﹣ x﹣
(3)
解:設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)且過點(diǎn)H(﹣1,0)的直線PQ的解析式為y=kx+b,
∴﹣k+b=0,
∴b=k,
∴y=kx+k.
由 ,
∴ +( ﹣k)x﹣ ﹣k=0,
∴x1+x2=﹣2+3k,y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2,
∵點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn),∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式的點(diǎn)M( k﹣1, k2).
假設(shè)存在這樣的N點(diǎn)如圖,直線DN∥PQ,設(shè)直線DN的解析式為y=kx+k﹣3
由 ,解得:x1=﹣1,x2=3k﹣1,∴N(3k﹣1,3k2﹣3)
∵四邊形DMPN是菱形,
∴DN=DM,
∴(3k)2+(3k2)2=( )2+( )2,
整理得:3k4﹣k2﹣4=0,
∵k2+1>0,
∴3k2﹣4=0,
解得k=± ,
∵k<0,
∴k=﹣ ,
∴P(﹣3 ﹣1,6),M(﹣ ﹣1,2),N(﹣2 ﹣1,1)
∴PM=DN=2 ,
∵PM∥DN,
∴四邊形DMPN是平行四邊形,
∵DM=DN,
∴四邊形DMPN為菱形,
∴以DP為對角線的四邊形DMPN能成為菱形,此時點(diǎn)N的坐標(biāo)為(﹣2 ﹣1,1).
【解析】(1)把點(diǎn)C代入拋物線解析式即可求出a,令y=0,列方程即可求出點(diǎn)A、B坐標(biāo).(2)先求出四邊形ABCD面積,分兩種情形:①當(dāng)直線l邊AD相交與點(diǎn)M1時,根據(jù)S△AHM1 = ×10=3,求出點(diǎn)M1坐標(biāo)即可解決問題.②當(dāng)直線l邊BC相交與點(diǎn)M2時,同理可得點(diǎn)M2坐標(biāo).(3)設(shè)P(x1 , y1)、Q(x2 , y2)且過點(diǎn)H(﹣1,0)的直線PQ的解析式為y=kx+b,得到b=k,利用方程組求出點(diǎn)M坐標(biāo),求出直線DN解析式,再利用方程組求出點(diǎn)N坐標(biāo),列出方程求出k,即可解決問題.本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、菱形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論,學(xué)會利用參數(shù)解決問題,用方程的思想思考問題,屬于中考壓軸題.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是的中點(diǎn),⊙O的切線BD交AC的延長線于點(diǎn)D,E是OB的中點(diǎn),CE的延長線交切線BD于點(diǎn)F,AF交⊙O于點(diǎn)H,連接BH.
(1)求證:AC=CD;
(2)若OC=,求BH的長.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,過點(diǎn)B作BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分別為點(diǎn)E,F(xiàn),延長BD至G,使得DG=BD,連結(jié)EG,F(xiàn)G,若AE=DE,則 = .
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)O,OC=1,以點(diǎn)O為圓心OC為半徑作半圓.
(1)求證:AB為⊙O的切線;
(2)如果tan∠CAO= ,求cosB的值.
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【題目】某校學(xué)生來自甲、乙、丙三個地區(qū),其人數(shù)比為2:3:5,如圖所示的扇形圖表示上述分布情況.已知來自甲地區(qū)的為180人,則下列說法不正確的是【 】
A.扇形甲的圓心角是72°
B.學(xué)生的總?cè)藬?shù)是900人
C.丙地區(qū)的人數(shù)比乙地區(qū)的人數(shù)多180人
D.甲地區(qū)的人數(shù)比丙地區(qū)的人數(shù)少180人
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A(2,﹣2).
(1)分別求這兩個函數(shù)的表達(dá)式;
(2)將直線OA向上平移3個單位長度后與y軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)的交點(diǎn)為C,連接AB,AC,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及△ABC的面積.
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【題目】已知:如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,延長BA至點(diǎn)E,使AE+CD=AD.連結(jié)CE,求證:CE平分∠BCD.
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【題目】如圖,半徑為3的⊙O與Rt△AOB的斜邊AB切于點(diǎn)D,交OB于點(diǎn)C,連接CD交直線OA于點(diǎn)E,若∠B=30°,則線段AE的長為 .
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【題目】甲、乙兩校分別有一男一女共4名教師報(bào)名到農(nóng)村中學(xué)支教.
(1)若從甲、乙兩校報(bào)名的教師中分別隨機(jī)選1名,則所選的2名教師性別相同的概率是 .
(2)若從報(bào)名的4名教師中隨機(jī)選2名,用列表或畫樹狀圖的方法求出這2名教師來自同一所學(xué)校的概率.
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