Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，且．

（1）求的值；

（2）在拋物線上求一點(diǎn)使得四邊形是以為對(duì)角線的菱形；

（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形是以為對(duì)角線的菱形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷這個(gè)菱形是否為正方形？若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）D；（3）存在，，這個(gè)菱形不是正方形．

【解析】

（1）把A（0，-4）代入可求c，運(yùn)用兩根關(guān)系及x2-x1=5，對(duì)式子合理變形，求b；
（2）因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分，故菱形的另外一條對(duì)角線必在拋物線的對(duì)稱軸上，滿足條件的D點(diǎn)，就是拋物線的頂點(diǎn)；
（3）根據(jù)四邊形BPOH是以OB為對(duì)角線的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可，再根據(jù)所求點(diǎn)的坐標(biāo)與線段OB的長度關(guān)系，判斷是否為正方形．

解:（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)

又由題意可知，是方程的兩個(gè)根，

，

由已知得

又

解得，

當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，不合題意，舍去．

；

（2）∵四邊形是以為對(duì)角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)必在拋物線的對(duì)稱軸上，

又

拋物線的頂點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；

（3）∵四邊形是以為對(duì)角線的菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為

根據(jù)菱形的性質(zhì)，

點(diǎn)必是直線與拋物線的交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，

在拋物線上存在一點(diǎn)，使得四邊形為菱形．

四邊形不能成為正方形，

因?yàn)槿绻�四邊�?/span>為正方形，．點(diǎn)的坐標(biāo)只能是，但這一點(diǎn)不在拋物線上.