Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑以每秒1cm的運(yùn)動(dòng)速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑以每秒vcm的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．分別過P和Q作PE⊥AB于E，QF⊥AB于F．

（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t＝　 　時(shí)，直線BP平分△ABC的面積．

（2）當(dāng)Q在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（t＞0），且v＝1時(shí)，連接AQ、連接BP，線段AQ與BP可能相等嗎？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

（3）當(dāng)Q的速度v為多少時(shí)，存在某一時(shí)刻（或時(shí)間段）可以使得△PAE與△QBF全等．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）當(dāng)Q在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（t＞0），且v＝1時(shí)、線段AQ與BP不可能相等；（3）當(dāng)v＝cm/s時(shí)．t＝時(shí)，△PAE與△QBF全等．

【解析】

(1)根據(jù)三角形的中線分三角形面積相等的兩部分，可得當(dāng)AP＝PC時(shí)，直線BP平分△ABC的面積由此即可解決問題.

(2) 假設(shè)可能相等，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

(3)分兩種情形: ①當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上時(shí)，PA=BQ時(shí)，△AEP≌△FQB， ②當(dāng)P，Q在AC邊上相遇時(shí)，且PA=PB時(shí), △PAE與△QBF全等.分別求解即可解決問題.

解：（1）當(dāng)AP＝PC時(shí)，直線BP平分△ABC的面積．此時(shí)t＝4．

故答案為4．

（2）假設(shè)可能相等．則有82+（6﹣t）2＝62+（8﹣t）2，

解得t＝0，不符合題意，

所以當(dāng)Q在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（t＞0），且v＝1時(shí)、線段AQ與BP不可能相等．

（3）①當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上時(shí)，

在Rt△AEP和Rt△BFQ中，

∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，∠C＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，∠B+∠BQF＝90°，

∴∠A＝∠BQF，

∴當(dāng)PA＝BQ時(shí)，△AEP≌△FQB，

∴當(dāng)v＝1cm/s時(shí)，0＜t≤6時(shí)，△PAE與△QBF全等．

②當(dāng)P，Q在AC邊上相遇時(shí)，且PA＝PB時(shí)，△PAE與△QBF全等．設(shè)此時(shí)PA＝PB＝x，

在Rt△PBC中，∵PB2＝PC2+BC2，

∴x2＝（8﹣x）2+62，

∵當(dāng)P，Q在AC邊上相遇，可得

解得

∴當(dāng)v＝cm/s時(shí)．t＝時(shí)，△PAE與△QBF全等．