【題目】如圖1,正方形ABCD的邊長為4,把三角板的直角頂點放置BC中點E處,三角板繞點E旋轉(zhuǎn),三角板的兩邊分別交邊AB、CD于點G、F.
(1)求證:△GBE∽△GEF.
(2)設(shè)AG=x,GF=y,求Y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式,并寫出自變量取值范圍.
(3)如圖2,連接AC交GF于點Q,交EF于點P.當(dāng)△AGQ與△CEP相似,求線段AG的長.
【答案】(1)見解析;(2)y=4﹣x+(0≤x≤3);(3)當(dāng)△AGQ與△CEP相似,線段AG的長為2或4﹣.
【解析】
(1)先判斷出△BEF'≌△CEF,得出BF'=CF,EF'=EF,進(jìn)而得出∠BGE=∠EGF,即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出△BEG∽△CFE進(jìn)而得出CF=
,即可得出結(jié)論;
(3)分兩種情況,①△AGQ∽△CEP時,判斷出∠BGE=60°,即可求出BG;
②△AGQ∽△CPE時,判斷出EG∥AC,進(jìn)而得出△BEG∽△BCA即可得出BG,即可得出結(jié)論.
(1)如圖1,延長FE交AB的延長線于F',
∵點E是BC的中點,
∴BE=CE=2,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,
∴∠F'=∠CFE,
在△BEF'和△CEF中,
,
∴△BEF'≌△CEF,
∴BF'=CF,EF'=EF,
∵∠GEF=90°,
∴GF'=GF,
∴∠BGE=∠EGF,
∵∠GBE=∠GEF=90°,
∴△GBE∽△GEF;
(2)∵∠FEG=90°,
∴∠BEG+∠CEF=90°,
∵∠BEG+∠BGE=90°,
∴∠BGE=∠CEF,
∵∠EBG=∠C=90°,
∴△BEG∽△CFE,
∴,
由(1)知,BE=CE=2,
∵AG=x,
∴BG=4﹣x,
∴,
∴CF=,
由(1)知,BF'=CF=,
由(1)知,GF'=GF=y,
∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+
當(dāng)CF=4時,即:=4,
∴x=3,(0≤x≤3),
即:y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=4﹣x+(0≤x≤3);
(3)∵AC是正方形ABCD的對角線,
∴∠BAC=∠BCA=45°,
∵△AGQ與△CEP相似,
∴①△AGQ∽△CEP,
∴∠AGQ=∠CEP,
由(2)知,∠CEP=∠BGE,
∴∠AGQ=∠BGE,
由(1)知,∠BGE=∠FGE,
∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE,
∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°,
∴∠BGE=60°,
∴∠BEG=30°,
在Rt△BEG中,BE=2,
∴BG=,
∴AG=AB﹣BG=4﹣,
②△AGQ∽△CPE,
∴∠AQG=∠CEP,
∵∠CEP=∠BGE=∠FGE,
∴∠AQG=∠FGE,
∴EG∥AC,
∴△BEG∽△BCA,
∴,
∴,
∴BG=2,
∴AG=AB﹣BG=2,
即:當(dāng)△AGQ與△CEP相似,線段AG的長為2或4﹣.
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【題目】若兩條拋物線的頂點相同,則稱它們?yōu)?/span>“友好拋物線”,拋物線C1:y1=﹣2x2+4x+2與C2:u2=﹣x2+mx+n為“友好拋物線”.
(1)求拋物線C2的解析式.
(2)點A是拋物線C2上在第一象限的動點,過A作AQ⊥x軸,Q為垂足,求AQ+OQ的最大值.
(3)設(shè)拋物線C2的頂點為C,點B的坐標(biāo)為(﹣1,4),問在C2的對稱軸上是否存在點M,使線段MB繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MB′,且點B′恰好落在拋物線C2上?若存在求出點M的坐標(biāo),不存在說明理由.
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【題目】甲、乙兩人同時從A地前往相距5千米的B地.甲騎自行車,途中修車耽誤了20分鐘,甲行駛的路程(千米)關(guān)于時間(分鐘)的函數(shù)圖像如圖所示;乙慢跑所行的路程(千米)關(guān)于時間(分鐘)的函數(shù)解析式為.
(1)在圖中畫出乙慢跑所行的路程關(guān)于時間的函數(shù)圖像;
(2)乙慢跑的速度是每分鐘________千米;
(3)甲修車后行駛的速度是每分鐘________千米;
(4)甲、乙兩人在出發(fā)后,中途________分鐘時相遇.
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【題目】如圖,把矩形紙片ABCD沿對角線折疊,設(shè)重疊部分為△EBD,那么下列說法錯誤的是( )
A. △EBD是等腰三角形,EB=ED B. 折疊后∠ABE和∠C′BD一定相等
C. 折疊后得到的圖形是軸對稱圖形 D. △EBA和△EDC′一定是全等三角形
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【題目】如圖,已知△ABC是等邊三角形,D為AC邊上的一點,DG∥AB,延長AB到E,使BE=GD,連接DE交BC于F.
(1)求證:GF=BF;
(2)若△ABC的邊長為a,BE的長為b,且a,b滿足(a﹣7)2+(b﹣3)2=0,求BF的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(- 1,5),B(- 1,0),C(- 4,3).
(1)求出△ABC的面積;
(2)在圖中作出△ABC關(guān)于軸的對稱圖形△A1B1C1;
(3)設(shè)P是y軸上的點,要使得點P到點A,C的距離和最小,求點P的坐標(biāo).
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【題目】大豐區(qū)在創(chuàng)建全國文明城市過程中,決定購買A,B兩種樹苗對某路段道路進(jìn)行綠化改造,已知購買A種樹苗5棵,B種樹苗10棵,需要1300元;購買A種樹苗3棵,B種樹苗5棵,需要710元.
(1)求購買A,B兩種樹苗每棵各需要多少元?
(2)現(xiàn)需購進(jìn)這兩種樹苗共100棵,其中A種樹苗購進(jìn)x棵,考慮到綠化效果和資金周轉(zhuǎn),A種樹苗不能少于30棵,且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過8650元,試求x 的取值范圍。
(3)某包工隊承包了該項種植任務(wù),若種好一棵A種樹苗需付工錢15元,種好一棵B種樹苗需付工錢25元,在(2)的條件下,設(shè)種好這100棵樹苗共需付工錢y元,,試求出y與x的函數(shù)表達(dá)式,并寫出所付的種植工錢最少的購買方案及最少工錢是多少元。
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=6cm.點P從A點出發(fā)沿A→C→B路徑以每秒1cm的運動速度向終點B運動;同時點Q從B點出發(fā)沿B→C→A路徑以每秒vcm的速度向終點A運動.分別過P和Q作PE⊥AB于E,QF⊥AB于F.
(1)設(shè)運動時間為t秒,當(dāng)t= 時,直線BP平分△ABC的面積.
(2)當(dāng)Q在BC邊上運動時(t>0),且v=1時,連接AQ、連接BP,線段AQ與BP可能相等嗎?若能,求出t的值;若不能,請說明理由.
(3)當(dāng)Q的速度v為多少時,存在某一時刻(或時間段)可以使得△PAE與△QBF全等.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,CB=CD,∠D+∠ABC=180°,CE⊥AD于E.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)若AE=3ED=6,求AB的長.
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