Question

【題目】如圖，已知直線分別交軸、軸于點(diǎn)A、B，拋物線過(guò)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC 軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D．

（1）若拋物線的解析式為，設(shè)其頂點(diǎn)為M，其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N．

①求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；

②是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）① ②答案見(jiàn)解析 （2）存在，或

【解析】

（1）①如圖1，把拋物線解析式配成頂點(diǎn)式可得到頂點(diǎn)為的坐標(biāo)為，，然后計(jì)算自變量為對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)值可得到點(diǎn)坐標(biāo)；

②易得，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則，由于，根據(jù)平行四邊形的判定方法，當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形，即，求出得到此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，，接著計(jì)算出，然后比較與的大小關(guān)系可判斷平行四邊形是否為菱形；

（2）如圖2，利用勾股定理計(jì)算出，再表示出，則可計(jì)算出，接著表示出拋物線解析式為，則可用表示出點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，由于，根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，然后利用比例性質(zhì)分別求出的值，從而得到對(duì)應(yīng)的拋物線的解析式．

（1）①如圖1，

，

頂點(diǎn)為的坐標(biāo)為，，

當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)坐標(biāo)為，；

②不存在．

理由如下：

，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，

，

，

當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形，即，解得（舍去），，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，，

，

，

平行四邊形不為菱形，

不存在點(diǎn)，使四邊形為菱形；

（2）存在．

如圖2，，，則，

當(dāng)時(shí)，，則，

，

設(shè)拋物線的解析式為，

把代入得，解得，

拋物線的解析式為，

當(dāng)時(shí)，，則，

，

，

，

當(dāng)時(shí)，，即，解得，此時(shí)拋物線解析式為；

當(dāng)時(shí)，，即，解得，此時(shí)拋物線解析式為；

綜上所述，滿足條件的拋物線的解析式為或．