Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)E在AD邊上且不與點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，當(dāng)△OED是等腰三角形時(shí)，AE的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】或5﹣．

【解析】

分三種情況討論：①當(dāng)OE＝DE時(shí)，△OED是等腰三角形，連接OA，根據(jù)勾股定理可求BD，根據(jù)點(diǎn)O是中點(diǎn)可知OD＝OB＝OA，進(jìn)而可證得△ODE∽△ADO，得到相似比即可求出答案；②DE＝OD，繼而可知AE=AD-OD；③OD＝OEE與點(diǎn)A重合，不合題意舍去，故此可得出最終答案.

①當(dāng)OE＝DE時(shí)，△OED是等腰三角形，如圖1，連接OA，在矩形ABCD中，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，∠BAD＝90°，

在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得，BD＝，

∵O是BD中點(diǎn)，

∴OD＝OB＝OA＝，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵OE＝DE，

∴∠EOD＝∠ODE，

∴∠EOD＝∠ODE＝∠OAD，

∴△ODE∽△ADO，

∴，∴DO2＝DEDA，

∴設(shè)AE＝x，

∴DE＝5﹣x，

∴＝5（5﹣x），

∴x＝，

即：AE＝；

②如圖2，當(dāng)DE＝OD＝時(shí)，當(dāng)△OED是等腰三角形，

∴AE＝5﹣；

③當(dāng)OD＝OE＝時(shí)，當(dāng)E與點(diǎn)A重合，不合題意舍去，

綜上所述，當(dāng)△OED是等腰三角形時(shí)，AE的長(zhǎng)為或5﹣；

故答案為：或5-．