Question

【題目】如圖1，折疊矩形紙片ABCD，具體操作：①點(diǎn)E為AD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），把△ABE沿BE所在的直線折疊，A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為F點(diǎn)；②過點(diǎn)E對(duì)折∠DEF，折痕EG所在的直線交DC于點(diǎn)G，D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為H點(diǎn)．

（1）求證：△ABE∽△DEG．

（2）若AB=3，BC=5

①點(diǎn)E在移動(dòng)的過程中，求DG的最大值

②如圖2，若點(diǎn)C恰在直線EF上，連接DH，求線段DH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①時(shí)，有最大值；②

【解析】

（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似證明即可；

（2）①設(shè)AE=x，證明△ABE∽△DEG，推出，可以得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
②如圖2中，連接DH．解直角三角形求出AE，DE，DG，EG，由翻折的性質(zhì)可知EG垂直平分線段DH，利用面積法可得．

（1）由折疊可知，

∵

∴

∵矩形

∴

∴

∴

（2）①設(shè)

∵

（2）①設(shè)

∵

∴

∴

∴

∵,

∴時(shí)，有最大值

②由折疊可知，，

∵

∴

∴

∴

∵點(diǎn)在直線上

∴，

∴

∴

∴

∴

由折疊可知

∴