【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6,0),B(﹣2,0),C(0,4).
(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P在第一象限的拋物線上,且能夠使△ACP得面積最大,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的前提下,在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△APQ為直角三角形,若存在,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)P(3,5);(3)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2,﹣)或(2,)或(2,1)或(2,4)
【解析】
(1)將A、B、C三點(diǎn)代入,可求得拋物線的解析式;
(2)設(shè)P(m,﹣m2+m+4),先求出AC的解析式,從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo),進(jìn)而得出PE的長(zhǎng),從而求得用m表示的△PCA的面積,最后根據(jù)二次函數(shù)的特點(diǎn),求出最值;
(3)設(shè)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,m),根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)之間的距離公式求出AQ2、PQ2和AP2,存在3種情況,一種是∠QAP=90°,第二種是∠AQP=90°,第三種是∠QPA=90°時(shí),利用勾股定理分別求解即可.
解:(1)把A(6,0),B(﹣2,0),C(0,4)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4.
(2)作PE∥OC交AC于E.
設(shè)P(m,﹣m2+m+4).
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+d
將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入,得
解得:
∴直線AC的解析式為y=﹣x+4,
∴E(m,﹣m+4),
∴PE=﹣m2+2m,
∴S△PAC=×(﹣m2+2m)×6=﹣m2+6m=﹣(m﹣3)2+9,
∵﹣1<0,
∴m=3時(shí),△PAC的面積最大,
∴P(3,5).
(3)∵A(6,0),P(3,5),拋物線y=﹣x2+x+4的對(duì)稱軸為直線x=2
∴可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,m)
∴AQ2=
PQ2=
AP2=
①當(dāng)∠QAP=90°時(shí),則AQ2+AP2= PQ2
即+34=
解得:m=
∴Q(2,)
②當(dāng)∠AQP=90°時(shí),則AQ2+PQ2= AP2
即+=34
解得:m1=1,m2=4
∴Q(2,1)或(2,4)
③當(dāng)∠QPA=90°時(shí),則AP2+PQ2= AQ2
即34+=
解得:m=
∴Q(2,)
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2,)或(2,)或(2,1)或(2,4).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(﹣4,0),B(1,0)兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B的直線y=kx+分別與y軸及拋物線交于點(diǎn)C,D.
(1)求直線和拋物線的表達(dá)式;
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在x軸的負(fù)半軸上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),△PDC為直角三角形?請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t的值;
(3)如圖2,將直線BD沿y軸向下平移4個(gè)單位后,與x軸,y軸分別交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,在直線EF上是否存在點(diǎn)N,使DM+MN的值最小?若存在,求出其最小值及點(diǎn)M,N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某反比例函數(shù)圖象的一支經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)),作BC⊥y軸,垂足為點(diǎn)C,連結(jié)AB,AC.
(1)求該反比例函數(shù)的解析式;
(2)若△ABC的面積為6,求直線AB的表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】樂(lè)高積木是兒童喜愛(ài)的玩具.這種塑膠積木一頭有凸粒,另一頭有可嵌入凸粒的孔,形狀有1300多種,每一種形狀都有12種不同的顏色,以紅、黃、藍(lán)、白、綠色為主.它靠小朋友自己動(dòng)手動(dòng)腦,可以拼插出變化無(wú)窮的造型,令人愛(ài)不釋手,被稱為“魔術(shù)塑料積木”.某玩具店購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩款樂(lè)高積木,它們的進(jìn)貨單價(jià)之和是720元.甲款積木零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)多80元.乙款積木零售價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)的1.5倍少120元,按零售單價(jià)購(gòu)買甲款積木4盒和乙款積木2盒,共需要2640元.
(1)分別求出甲乙兩款積木的進(jìn)價(jià);
(2)該玩具店平均一個(gè)星期賣出甲款積木40盒和乙款積木24盒,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),甲款積木零售單價(jià)每降低2元,平均一個(gè)星期可多售出甲款積木4盒,商店決定把甲款積木的零售價(jià)下降元,乙款積木的零售價(jià)和銷量都不變.在不考慮其他因素的條件下,為了顧客能獲取更多的優(yōu)惠,當(dāng)為多少時(shí),玩具店一個(gè)星期銷售甲、乙兩款積木獲取的總利潤(rùn)為5760元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,ABCD是平行四邊形對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,直線EF過(guò)點(diǎn)O,分別交AD,BC于點(diǎn)E,F.
(1)求證:AE=CF.
(2)如圖2,若ABCD是老張家的一塊平行四邊形田地。P為水井,現(xiàn)要把這塊田地平均分給兩個(gè)兒子,為了用水方便,要求分給兩個(gè)兒子的田地都與水井P相鄰。請(qǐng)你幫老張家設(shè)計(jì)一下,畫(huà)出圖形,并說(shuō)明理由?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解朝陽(yáng)社區(qū)歲居民最喜歡的支付方式,某興趣小組對(duì)社區(qū)內(nèi)該年齡段的部分居民展開(kāi)了隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查(每人只能選擇其中一項(xiàng)),并將調(diào)查數(shù)據(jù)整理后繪成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題:
(1)求參與問(wèn)卷調(diào)查的總?cè)藬?shù).
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(3)該社區(qū)中歲的居民約8000人,估算這些人中最喜歡微信支付方式的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知,為反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn),以為直徑的圓的圓心在軸上,與軸正半軸交于,則的值為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為P(1,9),與x軸的交點(diǎn)為A(﹣2,0),B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)M為x軸上方拋物線上的一點(diǎn),MB與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C,若∠COB=2∠CBO,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)如圖2,將原拋物線沿對(duì)稱軸平移后得到新拋物線為y=ax2+bx+h,E,F新拋物線在第一象限內(nèi)互不重合的兩點(diǎn),EG⊥x軸,FH⊥x軸,垂足分別為G,H,若始終存在這樣的點(diǎn)E,F,滿足△GEO≌△HOF,求h的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小穎為學(xué)校聯(lián)歡會(huì)設(shè)計(jì)了一個(gè)“配紫色”游戲:如圖是三個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤,A盤和B盤被分成面積相等的幾個(gè)扇形.游戲者同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,如果其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色,另一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色,那么他就贏了,因?yàn)榧t色和藍(lán)色在一起配成了紫色.
(1)若游戲者同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)A盤和B盤,請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法,求他獲勝的概率;
(2)若游戲者同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)B盤和C盤,請(qǐng)直接寫出他獲勝的概率,不必寫出求解過(guò)程.
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