Question

【題目】如圖，在矩形ABCO中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，3），點(diǎn)A，C在坐標(biāo)軸上，將直線l1：y＝﹣2x+3向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l2．

（1）求直線l2的解析式；

（2）求直線l2與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S；

（3）已知點(diǎn)M在第二象限，且是直線l2上的點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上，若△APM是等腰直角三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x﹣3；（2） ；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣2，1）或（﹣，）．

【解析】

（1）根據(jù)平移規(guī)律得出直線l2的解析式即可；

（2）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求直線l1與x軸，直線l2與AB的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）分三種情況：①若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M在第二象限；若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M在第二象限；③若點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M在第二象限；進(jìn)行討論可求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

解：（1）直線l2的解析式為y＝﹣2x+3﹣6＝﹣2x﹣3．

（2）由（1）知直線l2的解析式為y＝﹣2x﹣3，令y＝0，即﹣2x﹣3＝0，

∴x＝﹣；

令x＝0，則y＝﹣3，

∴S＝×3×＝．

（3）若△APM是等腰直角三角形，分以下三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，∠MPA＝45°，連接AC，如圖a.

∵點(diǎn)M在第二象限，若∠MAP＝90°，則點(diǎn)M必在AB上方，

∴∠MPA＞∠BPA＞∠BCA＝45°，這與∠MPA＝45°矛盾，

∴點(diǎn)M不存在；

②當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，即∠MPA＝90°．

∵M在第二象限，

∴點(diǎn)M必在AB上方，如圖a，過點(diǎn)M作MN⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，易證△ABP≌△PNM，

∴PN＝AB＝4，MN＝BP．

∵B（﹣4，3），

∴CB＝3．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，﹣2x﹣3），則BP＝MN＝﹣4﹣x，CN＝﹣2x﹣3．

∵CN＝CB+PN﹣BP，

∴﹣2x﹣3＝3+4﹣（﹣4﹣x），

∴x＝﹣，則﹣2x﹣3＝，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，）；

③當(dāng)點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，分兩種情況討論：如圖b，當(dāng)點(diǎn)M在AB下方時(shí)，過點(diǎn)M作HG⊥OA交OA于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，易證△MPH≌△AMG，

∴MH＝AG．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，﹣2a﹣3），則AG＝3﹣（﹣2a﹣3）＝6+2a，MG＝﹣a，

∴HG＝MH+MG＝AG+MG＝6+2a﹣a＝4，

∴a＝﹣2，則﹣2a﹣3＝1．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，1）；

如圖c，當(dāng)點(diǎn)M在AB上方時(shí)，同理可得﹣2a﹣6﹣a＝4，

∴a＝﹣，則﹣2a﹣3＝，

∴點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（﹣，），

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣2，1）或（﹣，）．