Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) 為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，且．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長度的速度，從點(diǎn)出發(fā)，沿軸正半軸勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為，請用含有的式子表示，并直接寫出的取值范圍；
（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，過點(diǎn) 作軸的平行線，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，直線上是否存在一點(diǎn)，使是以為腰的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（10，0）；（2）S=25-5t（0＜t≤5）或S=5t-25（t＞5）；（3）存在，（5，5）或（3，5）或（17，5）．

【解析】

（1）作AM⊥OB于M，左側(cè)△OAB是等腰直角三角形，得出∠OAB=90°，∠ABO=45°，BM=OM=5，求出OB=10，即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）分兩種情況討論：當(dāng)0＜t≤5時(shí)，OP=2t，則PB=10-2t；當(dāng)t＞5時(shí)，OP=2t，則PB=2t-10；由三角形面積公式即可得出結(jié)果；
（3）由ASA證明△OAD≌△BAK，得出OD=BK=2，分兩種情況：當(dāng)∠PRK=90°時(shí)，點(diǎn)R與A重合，得出R（5，5）；當(dāng)∠RPK=90°時(shí)，①當(dāng)P在B的左側(cè)時(shí)，作RE⊥OB于E，證得△EPR≌△BKP，得出EP=BK=2，RE=PB=5，求出OE=3即可；②當(dāng)P在B的右側(cè)時(shí)，同理得出點(diǎn)R的坐標(biāo)為（17，5），即可得出結(jié)論．

（1）作AM⊥OB于M，如圖1所示：

∵∠AOB=45°，OA=BA，點(diǎn)A（5，5），
∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90°，
∴∠ABO=45°，BM=OM=5，
∴OB=10，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，0）；
（2）當(dāng)0＜t≤5時(shí)，如圖2所示：

OP=2t，則PB=10-2t，
∴S=（10-2t）×5=25-5t；
當(dāng)t＞5時(shí)，如圖3所示：
OP=2t，則PB=2t-10，
∴S=（2t-10）×5=5t-25；
綜上所述：S=25-5t（0＜t≤5）或S=5t-25（t＞5）；

（3）存在，∵AK⊥AD，

∴∠DAK=90°=∠OAB，
∴∠OAD=∠BAK，
∵BK⊥OB，
∴∠ABK=90°-45°=45°，
在△OAD和△BAK中， ，
∴△OAD≌△BAK（ASA），

∴OD=BK=2，
當(dāng)∠PRK=90°時(shí)，點(diǎn)R與A重合，
∴R（5，5）；
當(dāng)∠RPK=90°時(shí)，
①當(dāng)P在B的左側(cè)時(shí)，如圖4所示：
作RE⊥OB于E，同理證得△EPR≌△BKP，

∴EP=BK=2，RE=PB=5，
∴OE=10-5-2=3，
∴R（3，5）；
②當(dāng)P在B的右側(cè)時(shí)，如圖5所示：
同理得出點(diǎn)R的坐標(biāo)為（17，5）；
綜上所述：直線a上存在點(diǎn)R，使△PKR是以PR為腰的等腰直角三角形，點(diǎn)R坐標(biāo)為（5，5）或（3，5）或（17，5）．/p>