【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn),連接DE,過(guò)點(diǎn)D作FD⊥ED,交直線BC于點(diǎn)F.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí),求證:△DEC∽△DFB.
(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí),(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)結(jié)合圖2給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若AC=,BC=2,DF=4,請(qǐng)直接寫出CE的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)成立,理由見(jiàn)解析;(3)CE=2或CE=.
【解析】
(1)首先證明∠ACD=∠B,∠EDC=∠BDF,得到△DEC∽△DFB.
(2)方法和(1)一樣,首先證明∠ACD=∠B,∠EDC=∠BDF,得到△DEC∽△DFB.
(3)由(2)的結(jié)論得出△ADE∽△CDF,判斷出CF=2AE,求出EF,再利用勾股定理,分三種情形分別求解即可.
(1)證明:如圖1中,
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°,
∴∠ACD=∠B,
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=∠CDB=90°,
∴∠CDE=∠BDF,
∴△DEC∽△DFB.
(2)結(jié)論成立.
理由:如圖2中,
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°,
∴∠ACD=∠B,
∴∠DCE=∠A+90°,
∠DBF=∠A+90°,,
∴∠DCE=∠DBF,
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=∠CDB=90°,
∴∠CDE=∠BDF,
∴△DEC∽△DFB.
(3)∵∠ACD=∠B,∠ADC=∠BDC,
∴△ADC∽△CDB
∴==,
由(2)有,△CDE∽△BDF,
∵==,
∴===,
∴CF=2AE,
在Rt△DEF中,DE=2,DF=4,
∴EF===2,
①當(dāng)E在線段AC上時(shí),在Rt△CEF中,CF=2AE=2(AC﹣CE)=2(﹣CE),EF=2,
根據(jù)勾股定理得,CE2+CF2=EF2,
∴CE2+[2(﹣CE)]2=40
∴CE=2,或CE=﹣(舍)
而AC=<CE,
∴此種情況不存在,
②當(dāng)E在AC延長(zhǎng)線上時(shí),
在Rt△CEF中,CF=2AE=2(AC+CE)=2(+CE),EF=2,
根據(jù)勾股定理得,CE2+CF2=EF2,
∴CE2+[2(+CE)]2=40,
∴CE=,或CE=﹣2(舍),
③如圖3中,當(dāng)點(diǎn)E在CA延長(zhǎng)線上時(shí),
CF=2AE=2(CE﹣AC)=2(CE﹣),EF=2,
根據(jù)勾股定理得,CE2+CF2=EF2,
∴CE2+[2(CE﹣)]2=40,
∴CE=2,或CE=﹣(舍)
即:CE=2或CE=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),△ABO的邊AB垂直于x軸,垂足為點(diǎn)B,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)AO的中點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D,且AD=3.
(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,4)則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ;
(2)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,n).
①求反比例函數(shù)y=的表達(dá)式;
②求經(jīng)過(guò)C,D兩點(diǎn)的直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)點(diǎn)E是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C,D重合),過(guò)點(diǎn)E且平行y軸的直線l與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)F,求△OEF面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)(a≠0)的圖象如圖所示,則下列命題中正確的是( )
A. a >b>c
B. 一次函數(shù)y=ax +c的圖象不經(jīng)第四象限
C. m(am+b)+b<a(m是任意實(shí)數(shù))
D. 3b+2c>0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)為G.
(1)求拋物線和直線AC的解析式;
(2)如圖,設(shè)E(m,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn),若△CGE和△CGO的面積滿足S△CGE=S△CGO,求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)如圖,設(shè)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向右運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,點(diǎn)M為射線AC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作MN∥x軸交拋物線對(duì)稱軸右側(cè)部分于點(diǎn)N.試探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在以P,M,N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=8,AC=16,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB方向以每秒2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng):同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿CA方向以每秒3個(gè)長(zhǎng)度單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn),則另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),當(dāng)△ABC與以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為______秒.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與x軸交于點(diǎn)A,B,與軸交于點(diǎn)C。過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸,交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D,連結(jié)BD。已知點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0)。
(1)求該拋物線的解析式;
(2)求梯形COBD的面積。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)銷售一批襯衫,平均每天可售出件,每件盈利元.為了擴(kuò)大銷售,增加盈利,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),在一定范圍內(nèi),襯衫的單價(jià)每下降元,商場(chǎng)平均每天可多售出件.
如果商場(chǎng)通過(guò)銷售這批襯衫每天獲利元,那么襯衫的單價(jià)應(yīng)下降多少元?
當(dāng)每件襯衫的單價(jià)下降多少元時(shí),每天通過(guò)銷售襯衫獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】綜合與探究:在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn),與軸交于點(diǎn).過(guò)動(dòng)點(diǎn)作平行于軸的直線,直線與拋物線相交于點(diǎn),.線段的中點(diǎn)為.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)若,且點(diǎn)到軸的距離正好等于時(shí),求的值;
(3)直線上是否存在一點(diǎn),使得是以為直角邊的等腰直角三角形?若存在,直接寫出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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