【題目】如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng),那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”.
(1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)畫(huà)一個(gè)“好玩三角形”;
(2)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA= ,求證:△ABC是“好玩三角形”;
(3)如圖2,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∠ABC=2β,點(diǎn)P,Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā),以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),記點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程為s.
①當(dāng)β=45°時(shí),若△APQ是“好玩三角形”,試求的值;
②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi),點(diǎn)P,Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”.請(qǐng)直接寫(xiě)出tanβ的取值范圍.
(4)依據(jù)(3)的條件,提出一個(gè)關(guān)于“在點(diǎn)P,Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,tanβ的取值范圍與△APQ是‘好玩三角形’的個(gè)數(shù)關(guān)系”的真命題(“好玩三角形”的個(gè)數(shù)限定不能為1)
【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)見(jiàn)解析 (3)① ②<tanβ<2
(4)在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)0<tanβ<時(shí),使得△APQ成為“好玩三角形”的個(gè)數(shù)為2.
【解析】解:(1)如圖1,
①作一條線段AB,
②作線段AB的中點(diǎn)O,
③以點(diǎn)O為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,
④在圓O上取一點(diǎn)C(點(diǎn)E、F除外),連接AC、BC.
∴△ABC是所求作的三角形.
(2)如圖2,
取AC的中點(diǎn)D,連接BD.
∵∠C=90°,tanA= ,
∴
∴設(shè)BC= x,則AC=2x,
∵D是AC的中點(diǎn),
∴CD= AC=x
∴BD= = =2x,
∴AC=BD
∴△ABC是“好玩三角形”;
(3)①當(dāng)β=45°,點(diǎn)P在AB上時(shí),
∴∠ABC=2β=90°,
∴△APQ是等腰直角三角形,不可能是“好玩三角形”,
如圖3,當(dāng)P在BC上時(shí),連接AC交PQ于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AB交QP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,
∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=2β=90°,
∴四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ACB=∠ACD=45°,
∴∠CAB=∠ACP,
∵PC=CQ,∠ACB=∠ACD,
∴∠AEF=∠CEP=90°,
∴△AEF∽△CEP,且△AEF、△CEP和△BFP都是等腰直角三角形,
∴.
∵PE=CE,
∴.
(Ⅰ)當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等時(shí),即AE=PQ時(shí),
,
∴,
(Ⅱ)當(dāng)腰AP與它的中線QM相等,即AP=QM時(shí),
作QN⊥AP于N,如圖4
∵AP=QM=AQ
∴MN=AN= MP.
∴QN= MN,
∴tan∠APQ= ,
∴tan∠APE= ,
∴=
②由①可知,當(dāng)AE=PQ和AP=QM時(shí),有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”,
∴<tanβ<2時(shí),有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”.
(4)由(3)可以知道:在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)0<tanβ<時(shí),使得△APQ成為“好玩三角形”的個(gè)數(shù)為2.
(1)先畫(huà)一條線段AB,再確定AB的中點(diǎn)O,以點(diǎn)O為圓心,AB為半徑畫(huà)圓,在圓O上取一點(diǎn)C,連接AC、BC,則△ABC是所求作的三角形;
(2)取AC的中點(diǎn)D,連接BD,設(shè)BC= x,根據(jù)條件可以求出AC=2x,由三角函數(shù)可以求出BD=2x,從而得出AC=BD,從而得出結(jié)論;
(3)①當(dāng)β=45°時(shí),分情況討論,P點(diǎn)在AB上時(shí),△APQ是等腰直角三角形,不可能是“好玩三角形”,當(dāng)P在BC上時(shí),延長(zhǎng)AB交QP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,可以求出,再分情況討論,當(dāng)AE=PQ和AP=QM時(shí),求出的值;
②根據(jù)①求出的兩個(gè)的值可以求出tanβ的取值范圍;
(4)由(3)可以得出“在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)0<tanβ<時(shí),使得△APQ成為‘好玩三角形’的個(gè)數(shù)為2”是真命題.
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