Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，點D為線段AC上一動點，將線段BD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點B的對應(yīng)點為E，連接AE，則AE長的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BD＝DE，∠C＝90°，則容易想到構(gòu)造一個直角三角形與Rt△BCD全等，即過E點作EH⊥AD于點H，設(shè)CD＝x，則可用x表示AE的長，從而判斷什么時候AE取得最小值．

設(shè)CD＝x，則AD＝5﹣x，

過點E作EH⊥AD于點H，如圖：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BD＝DE，

∵∠ADE+∠BDC＝90°，∠BDC+∠CBD＝90°，

∴∠ADE＝∠CBD，

又∵∠EHD＝∠C，

∴△BCD≌△DHE，

∴EH＝CD＝x，DH＝BC＝3．

∵AD＝5﹣x，

∴AH＝AD﹣DH＝5﹣x﹣3＝2﹣x，

∵在Rt△AEH中，AE2＝AH2+EH2＝（2﹣x）2+x2＝2x2+4x+4＝2（x﹣1）2+2，

所以當(dāng)x＝1時，AE2取得最小值2，即AE取得最小值．

故答案是：．