Question

【題目】已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A(3，0)，B(1，0)兩點(diǎn)(如圖1)，頂點(diǎn)為M.

(1)a、b的值；

(2)設(shè)拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為Q(如圖1)，直線(xiàn)y=2x+9與直線(xiàn)OM交于點(diǎn)D. 現(xiàn)將拋物線(xiàn)平移，保持頂點(diǎn)在直線(xiàn)OD上.當(dāng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)平移到D點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)移至N點(diǎn)，求拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)M、Q間所夾的曲線(xiàn)MQ掃過(guò)的區(qū)域的面積；

(3)設(shè)直線(xiàn)y=2x+9與y軸交于點(diǎn)C，與直線(xiàn)OM交于點(diǎn)D(如圖2).現(xiàn)將拋物線(xiàn)平移，保持頂點(diǎn)在直線(xiàn)OD上.若平移的拋物線(xiàn)與射線(xiàn)CD(含端點(diǎn)C)沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，試探求其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)h的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）a=1，b=4；（2）MQ掃過(guò)的面積為；（3）或

【解析】

（1）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值．

（2）連接MQ、DN后，由圖可以發(fā)現(xiàn)曲線(xiàn)MQ掃過(guò)的面積正好是MQND的面積；連接QD，則MQND的面積是兩倍的△MQD的面積，所以這道題實(shí)際求的是△MQD的面積；由（1）的拋物線(xiàn)解析式，不難求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)OM和直線(xiàn)CD的解析式可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；以OQ為底，M、D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高即可得△MQD的面積，則此題可求．

（3）在平移過(guò)程中，拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小是不變的，即二次項(xiàng)系數(shù)不變；拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)始終在直線(xiàn)OM上，根據(jù)直線(xiàn)OM的解析式（y=x）可表達(dá)出拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的坐標(biāo)（h，h），可據(jù)此先設(shè)出平移后的拋物線(xiàn)解析式；若求平移的拋物線(xiàn)與射線(xiàn)CD（含端點(diǎn)C）沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍，那么就要考慮到兩個(gè)關(guān)鍵位置：

①拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)部分經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)h的值；

②拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)部分與直線(xiàn)CD恰好有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，h的值；

解：（1）將A（-3，0），B（-1，0）代入拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3中，得：

，

解得：a=1、b=4．

（2）連接MQ、QD、DN，

由圖形平移的性質(zhì)知：QN∥MD，即四邊形MQND是平行四邊形；

由（1）知，拋物線(xiàn)的解析式：y=x2+4x+3=（x+2）2-1，則點(diǎn)M（-2，-1），

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴Q（0，3）；

設(shè)直線(xiàn)OM的解析式為y=kx，

∴-2k=-1，

∴k=，

∴直線(xiàn)OM：y=x，聯(lián)立直線(xiàn)y=-2x+9，得：

，

解得

．

則D（）；

曲線(xiàn)QM掃過(guò)的區(qū)域的面積：S=SMQND=2S△MQD；

（3）由于拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)始終在y=x上，可設(shè)其坐標(biāo)為（h，h），設(shè)平移后的拋物線(xiàn)解析式為y=（x-h）2+h；

①當(dāng)平移后拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)部分經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，9）時(shí)，有：

h2+h=9，解得：h=（依題意，舍去正值）

②當(dāng)平移后的拋物線(xiàn)與直線(xiàn)y=-2x+9只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，依題意：

，

消去y，得：x2-（2h-2）x+h2+h-9=0，

則：△=（2h-2）2-4（h2+h-9）=-10h+40=0，解得：h=4，

結(jié)合圖形，當(dāng)平移的拋物線(xiàn)與射線(xiàn)CD（含端點(diǎn)C）沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，h＜或h＞4．