【題目】定義:如果一個點能與另外兩個點構(gòu)成直角三角形,則稱這個點為另外兩個點的勾股點.如矩形OBCD中,點C為O,B兩點的勾股點,已知OD=4,在DC上取點E,DE=8.
(1)如果點E是O,B兩點的勾股點(點E不在點C), 試求OB的長;
(2)如果OB=12,分別以OB,OD為坐標軸建立如圖2的直角坐標系,在x軸上取點F(5,0).在線段DC上取點P, 過點P的直線l∥y軸,交x軸于點Q.設DP=t.
①當點P在DE之間,以EF為直徑的圓與直線l相切,試求t的值;
②當直線l上恰好有2點是E,F兩點的勾股點時,試求相應t的取值范圍.
【答案】(1)10;(2)①4;②0<t<4或t=5或t=8或9<t≤12
【解析】
(1)連接OE、BE.設OB=x,則EC=x-8.先依據(jù)勾股定理表示出OE2、BE2的值,再依據(jù)勾股定理的逆定理列方程求解即可;
(2)①過點F作FG⊥DC,垂足為G,過點M作MN∥DE.在△EFG中依據(jù)勾股定理求得EF的長,從而可求得MH的長,由梯形的中位線定理可求得MN的長,然后依據(jù)NH=NM-MH可求得NH的長,從而求得t的值;
②當直線l與圓M相離或直線l經(jīng)過點E或直線l經(jīng)過點F時,直線l上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點.
解:(1)如圖1所示,連接OE、BE.
設OB=x,則EC=x-8.
在△DOE中,OE2=DE2+OD2=42+82=80,BE2=CE2+CB2=42+(x-8)2.
∵E為點O和點B的勾股定理點,
∴OB2=OE2+BE2,即42+(x-8)2+80=x2.
解得:x=10.
∴OB=10.
(2)①過點F作FG⊥DC,垂足為G,過點M作MN∥DE.
∵DE=8,OF=5,DO=4,
∴GE=3,FG=4,MN=6.5.
∴EF==5.
∴MH=2.5.
∴HN=NM-MH=6.5-2.5=4.
∴t=4.
②如圖3所示:當直線l與圓M相離時.過點E作EG⊥EF交PQ于點G,過點F作HF⊥EF,垂足為H.
∵∠GEF=90°,
∴△GEF為直角三角形.
∴G是E、F的一個勾股點.
同理點H也是E、F的一個勾股點.
∴當直線l與圓M相離時,直線l上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點.
∴當0<t<4時,直線l上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點.
同理:當直線l在圓M的右側(cè),直線l上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點.
∴9<t≤12.
如圖4所示:當直線l經(jīng)過點F時,直線l上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點.
∵OF=5,
∴t=5.
如圖5所示:當直線l經(jīng)過點E時,直線l上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點.
∵DE=8,
∴t=8.
綜上所述當0<t<4或t=5或t=8或9<t≤12時,直線l上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點.
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【題目】小明發(fā)現(xiàn)相機快門打開過程中,光圈大小變化如圖1所示,于是他繪制了如圖2所示的圖形.圖2中留個形狀大小都相同的四邊形圍成一個圓的內(nèi)接六邊形和一個小正六邊形,若PQ所在的直線經(jīng)過點M,PB=5cm,小正六邊形的面積為cm2,則該圓的半徑為________cm.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,過點A作⊙O的切線并在其上取一點C,連接OC交⊙O于點D,BD的延長線交AC于E,連接AD,
(1)求證:CD2=CEAC;
(2)若AB=4,AC=4,求AE的長.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,將一塊含有45°角的直角三角板如圖放置,直角頂點C的坐標為(1,0),頂點A的坐標為(0,2),頂點B恰好落在第一象限的雙曲線上,現(xiàn)將直角三角板沿x軸正方向平移,當頂點A恰好落在該雙曲線上時停止運動,則此時點C的對應點C′的坐標為( 。
A.(,0)B.(2,0)C.(,0)D.(3,0)
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點,以AB為邊在第一象限作正方形ABCD,點D在雙曲線(k≠0)上.將正方形沿x軸負方向平移a個單位長度后,點C恰好落在該雙曲線上,則a的值是
A.1B.2C.3D.4
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【題目】倡導健康生活推進全民健身,某社區(qū)去年購進A,B兩種健身器材若干件,經(jīng)了解,B種健身器材的單價是A種健身器材的1.5倍,用7200元購買A種健身器材比用5400元購買B種健身器材多10件.
(1)A,B兩種健身器材的單價分別是多少元?
(2)若今年兩種健身器材的單價和去年保持不變,該社區(qū)計劃再購進A,B兩種健身器材共50件,且費用不超過21000元,請問:A種健身器材至少要購買多少件?
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(3,0),B(1,0)兩點(如圖1),頂點為M.
(1)a、b的值;
(2)設拋物線與y軸的交點為Q(如圖1),直線y=2x+9與直線OM交于點D. 現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點在直線OD上.當拋物線的頂點平移到D點時,Q點移至N點,求拋物線上的兩點M、Q間所夾的曲線MQ掃過的區(qū)域的面積;
(3)設直線y=2x+9與y軸交于點C,與直線OM交于點D(如圖2).現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD(含端點C)沒有公共點時,試探求其頂點的橫坐標h的取值范圍.
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【題目】如圖1,點C在線段AB上,(點C不與A、B重合),分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE,連接AE、BD交于點P.
(觀察猜想)
①AE與BD的數(shù)量關系是 ;
②∠APD的度數(shù)為 .
(數(shù)學思考)
如圖2,當點C在線段AB外時,(1)中的結(jié)論①、②是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請你寫出正確結(jié)論再給予證明;
(拓展應用)
如圖3,點E為四邊形ABCD內(nèi)一點,且滿足∠AED=∠BEC=90°,AE=DE,BE=CE,對角線AC、BD交于點P,AC=10,則四邊形ABCD的面積為 .
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【題目】已知關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根x1,x2.
(1)求實數(shù)k的取值范圍;
(2)是否存在實數(shù)k使得成立?若存在,請求出k的值;若不存在,請說明理由.
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