Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣2x+c（c＜0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB=OC．

（Ⅰ）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）直線l是拋物線的對(duì)稱軸，E是拋物線的頂點(diǎn)，連接BE，線段OC上的點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F′恰好在線段BE上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（Ⅲ）若有動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別與BC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N，試問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△PQN與△APM的面積相等，且線段NQ的長(zhǎng)度最小？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y=x2﹣2x﹣3；（1，﹣4）；（Ⅱ）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣2）；（Ⅲ）存在，滿足題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為和．

【解析】分析：

（1）由已知條件易得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，c），結(jié)合OB=OC，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-c，0），把點(diǎn)B的坐標(biāo)（-c，0）代入y=x2﹣2x+c中結(jié)合c<0即可求得c的值，從而得到拋物線的解析式，將所得解析式化為頂點(diǎn)式即可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）由（1）可知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，m），則點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（2，m），由（1）可得點(diǎn)B、E的坐標(biāo)，則由此可求得直線BE的解析式，把F′的坐標(biāo)代入所得BE的解析式即可求得m的值，從而可得此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）如下圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，0），則PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n-3，

作QR⊥PN，垂足為R，由S△PQN=S△APM，可得（n+1）（3﹣n）=（﹣n2+2n+3）QR化簡(jiǎn)整理可得：QR=1，然后分點(diǎn)Q在PN的右側(cè)和左側(cè)兩種情況分別用含n的式子表達(dá)出點(diǎn)R和N的坐標(biāo)，然后在Rt△QRN中由勾股定理用含n的式子表達(dá)出NQ2，即可求得NQ最小時(shí)n的值，由此即可求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)了.

詳解：

（Ⅰ）∵y=x2﹣2x+c（c＜0），

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，c），

∵OB=OC，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣c，0），

將（﹣c，0）代入y=x2﹣2x+c，

解得c=﹣3或c=0（舍去）

∴c=﹣3，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，配方得y=（x﹣1）2﹣4，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，m），

∵對(duì)稱軸為直線l：x=1，

∴點(diǎn)F關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（2，m），

設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b，

由（1）可知點(diǎn)B、E的坐標(biāo)分別為（3，0），（1，﹣4），將兩個(gè)坐標(biāo)代入y=kx+b得：

，解得，

∴直線BE的解析式為y=2x﹣6，

∵點(diǎn)F′在直線BE上，

∴m=2×2﹣6=﹣2，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣2）；

（Ⅲ）存在，

如下圖所示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，0），

則PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n-3，

作QR⊥PN，垂足為R，

∵S△PQN=S△APM，

∴（n+1）（3﹣n）=（﹣n2+2n+3）QR，

∴QR=1，

①點(diǎn)Q在直線PN的右側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（n+1，n2﹣4），R點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，n2﹣4），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，n2﹣2n﹣3），

∴QR=1，RN=2n-1，

∴在Rt△QNR中，NQ2=1+（2n﹣1）2，

∴當(dāng)n=時(shí)，NQ取最小值，此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，

②點(diǎn)Q在直線PN的左側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n﹣1，n2﹣4n）

同①可得：NQ2=1+（-2n+3）2，

∴當(dāng)n=時(shí)，NQ取最小值，此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，

綜上所述，滿足題意點(diǎn)Q坐標(biāo)為和．