Question

【題目】一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題：
如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于點(diǎn)O，點(diǎn)P、D分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點(diǎn)E，求證：△BPO≌△PDE．

（1）理清思路完成解答
本題證明的思路可用下列框圖表示：

根據(jù)上述思路，請(qǐng)你完整地書寫本題的證明過(guò)程．
（2）若PB平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP=CD．
（3）知識(shí)遷移，探索新知
若點(diǎn)P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC的中點(diǎn)P′時(shí)，滿足題中條件的點(diǎn)D也隨之在直線BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D′，請(qǐng)直接寫出CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系．（不必寫解答過(guò)程）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵PB=PD，

∴∠2=∠PBD，

∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠C=45°，

∵BO⊥AC，

∴∠1=45°，

∴∠1=∠C=45°，

∵∠3=∠PBC﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C，

∴∠3=∠4，

∵BO⊥AC，DE⊥AC，

∴∠BOP=∠PED=90°，

在△BPO和△PDE中

∴△BPO≌△PDE（AAS）

（2）

證明：由（1）可得：∠3=∠4，

∵BP平分∠ABO，

∴∠ABP=∠3，

∴∠ABP=∠4，

在△ABP和△CPD中

∴△ABP≌△CPD（AAS），

∴AP=CD

（3）

解：CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′= AP′．

理由是：設(shè)OP=PC=x，則AO=OC=2x=BO，

則AP=2x+x=3x，

由△OBP≌△EPD，得BO=PE，

PE=2x，CE=2x﹣x=x，

∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，

∴DE=x，由勾股定理得：CD= x，

即AP=3x，CD= x，

∴CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′= AP′

【解析】（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根據(jù)AAS證△BPO≌△PDE即可；
（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；（3）設(shè)OP=CP=x，求出AP=3x，CD= x，即可得出答案．