Question

【題目】如圖，直線(xiàn)y=﹣x+3與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)B，C，經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P，且對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2．

（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）請(qǐng)問(wèn)在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）過(guò)S（0，4）的動(dòng)直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于M，N兩點(diǎn)，試問(wèn)拋物線(xiàn)上是否存在定點(diǎn)T，使得不過(guò)定點(diǎn)T的任意直線(xiàn)l都有∠MTN=90°？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）存在；（3）存在點(diǎn)T（4，3）使得不過(guò)定點(diǎn)T的任意直線(xiàn)l都有∠MTN=90°．

【解析】試題分析：(1)根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求,,再根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式;

(2)存在,分三種情況:過(guò)B點(diǎn)垂直BC的直線(xiàn)的解析式為y=x+b,過(guò)C點(diǎn)垂直BC的直線(xiàn)解析式為y=x+3,以BC為斜邊,進(jìn)行討論可求點(diǎn)Q的坐標(biāo);

(3)設(shè)M(x1,y1), N(x2,y2), T(a,b),過(guò)T作PQ∥x軸,過(guò)M,N作MP⊥PQ于P,NQ⊥PQ于Q,可證△MPT∽TQN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解.

解：（1）∵直線(xiàn)y=﹣x+3與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)B，C，

∴B（3，0），C（0，3），

∵對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，

∴設(shè)該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x﹣1）（x﹣3），

把C（0，3）代入得3a=3，解得a=1，

∴該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；

（2）存在，設(shè)過(guò)B點(diǎn)垂直BC的直線(xiàn)的解析式為y=x+b，

把B（3，0）代入得b=﹣3，

則直線(xiàn)的解析式為y=x﹣3，

依題意有，

解得，，

∴Q1（2，﹣1），

過(guò)C點(diǎn)垂直BC的直線(xiàn)解析式為y=x+3，

依題意有，

解得，，

∴Q2（5，8），

以BC為斜邊，設(shè)β（a，a2﹣4a+3），則

a2+（a2﹣4a）2+（a﹣3）2+（a2﹣4a+3）2=18，

a3﹣8a2+20a﹣15=0，

（a﹣3）（a2﹣5a+5）=0，

解得a1=3，a2=，

∴Q3（，），Q4（，），

∴存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形；

（3）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），T（a，b），

過(guò)T作PQ∥x軸，過(guò)M，N作MP⊥PQ于P，NQ⊥PQ于Q，則∠MTN=90°，

則△MPT∽△TQN，

∴，

a（x1+x2）﹣a2﹣x1x2=y1y2﹣b（y1+y2）+b2，

其中x1，x2，y1，y2是的解，

∴x2﹣（4+k）x﹣1=0，

x1x2=﹣1，

x1+x2=k+4，

y1y2=k2x1x2+4k（x1+x2）+16=﹣k2+4k（k+4）+16，

y1+y2=k（k+4）+8，

1+a（k+4）﹣a2=﹣k2+4k（k+4）+16﹣b（k2+4k+8）+b2，

1+ak+4a﹣a2=﹣k3+4k2+16k+16﹣bk2﹣4bk﹣8b+b2，

∴（3﹣b）k2+（16﹣4b﹣a）k+a2﹣4a﹣8b+b2+15=0，

∵y=kx+b有無(wú)數(shù)條，

∴k為任何實(shí)數(shù)，3﹣b=0，16﹣4b﹣a=0，a2﹣4a﹣8b+b2+15=0，

解得a=4，b=3，

存在點(diǎn)T（4，3）使得不過(guò)定點(diǎn)T的任意直線(xiàn)l都有∠MTN=90°．